О характере движения электрона Дирака в постоянном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ефремов Геннадий Федорович, Петров Дмитрий Алексеевич
Исследован характер движения электрона Дирака во внешнем постоянном магнитном поле с учетом эффекта дрожаний (zitterbewegung). Получено уравнение, описывающее изменение во времени оператора скорости электрона. Определены зависимости от времени операторов координаты и скорости электрона. Рассмотрен вопрос о квантовой нелокальности в теории Дирака, вызванной наличием дрожаний.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ефремов Геннадий Федорович, Петров Дмитрий Алексеевич
ON THE MOTION OF A DIRAC ELECTRON IN A CONSTANT MAGNETIC FIELD
The motion of a Dirac electron in an external constant magnetic field has been studied taking into account the Zitterbewegung phenomenon . An equation has been derived describing the time evolution of the electron velocity operator. Time dependences of electron coordinate and velocity operators have been determined. The quantum non-locality in the Dirac theory due to the Zitterbewegung phenomenon has been considered.
Текст научной работы на тему «О характере движения электрона Дирака в постоянном магнитном поле»
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 2 (1), с. 170-180
О ХАРАКТЕРЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА ДИРАКА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2011 г. Г.Ф. Ефремов, Д.А. Петров
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 07.02.2011
Исследован характер движения электрона Дирака во внешнем постоянном магнитном поле с учетом эффекта дрожаний (zitterbewegung). Получено уравнение, описывающее изменение во времени оператора скорости электрона. Определены зависимости от времени операторов координаты и скорости электрона. Рассмотрен вопрос о квантовой нелокальности в теории Дирака, вызванной наличием дрожаний.
Ключевые слова: электрон Дирака, эффект дрожания (zitterbewegung), квантовая нелокальность.
1. Практически с самого начала существования квантовой механики возникли два совершенно равноправных представления квантовой динамики, определяющих эволюцию во времени физических систем. В современной литературе за ними закрепились названия: представление Шредингера и представление Гейзенберга. Основное отличие их заключается в том, что в представлении Гейзенберга вся динамика рассматриваемой системы, т.е. зависимость от времени физических величин, переносится с волновой функции на операторы, соответствующие этим величинам. Несмотря на физическую эквивалентность этих подходов, которая выражается в возможности математического перехода от одного представления к другому, первый метод используется в гораздо большем числе работ. Это, в первую очередь, связано со статистическим характером квантовой механики, интересующейся более спектрами собственных значений физических величин и вероятностями их измерения, чем эволюцией во времени их операторов. Но, несмотря на более частое применение представления Шредингера, уже в самом начале развития квантовой механики появились интересные по своему содержанию и выводам работы, основанные на представлении Гейзенберга. Среди них следует особо выделить работу самого Э. Шредингера [1] (также в русском переводе [2]), посвященную исследованию динамики движения свободного электрона в релятивистской квантовой механике.
В этих работах установлено, что движение свободного электрона носит достаточно слож-
ный характер. Это проявляется в том, что, во-первых, скорость электрона приобретает самостоятельное значение наряду с его импульсом, во-вторых, движение свободного электрона не является в общем случае «прямолинейным». Причина этих особенностей, как показал Шре-дингер в [1], - наличие у электрона внутренней структуры, которая определяется его спиновым моментом.
Прежде чем перейти к основному содержанию этой работы, приведем в этом параграфе, в методических целях, решение Шредингера, проследив тем самым связь между приведенными выше особенностями движения свободного электрона в релятивистской квантовой механике.
Из теории Дирака [3] следует, что гамильтониан релятивистского электрона имеет вид
Н = са ■ р + Рздас2, (1)
где р - вектор импульса электрона, а = и
Рг- (/'=1, 2, 3) - матрицы Дирака, обладающие
следующими свойствами 2
= 1, аг- *а 7 = ЖукРк, 7 * 7
а7 + а7 ' = 2Ь17, (2)
р7 =1 р7 *Р7 = Щ7$к, 7 * 7
р7 *Р7 +р7 ■ р7 = (3)
а7 *Р7 _р7 *а7 = 0 (4)
о - вектор, состоящий из матриц Паули.
Как известно, свободный электрон обладает семью интегралами движения: энергия, три проекции импульса, а также три проекции полного момента импульса.
Согласно представлению Гейзенберга, операторы физических величин подчиняются следующему уравнению
где A(t) - оператор, соответствующий физической величине А, H - гамильтониан системы.
Используя уравнение (5), гамильтониан (1) и свойства (2) - (4), запишем уравнение движения для оператора координаты и скорости электрона:
dax(t) = 1 (ax (t)H - Hax (t)) =
Уравнения (6) и (7) являются удивительными во всех отношениях. Как известно из классической релятивистской механики, скорость электрона связана с его импульсом известным соотношением
работе Шредингера, этих трудностей можно избежать, решив одно дифференциальное уравнение, правда, второго порядка, вместо системы из девяти уравнений. Это можно сделать следующим образом.
Как уже было сказано раньше, у свободного электрона одним из интегралов движения является энергия, причем, учитывая (2), легко показать, что имеет место следующее соотношение а х (0Н + На х (?) = 2срх. (9)
Уравнение (7) может быть переписано в виде
ікСах (0 = 2ах (ОН - 2срх = 2срх - 2Нах (?). (10) са
Поскольку ах (?) и Н не коммутируют друг с другом, то в уравнении (10) является принципиальным положение оператора Н . Поэтому дальше везде в этой работе будем рассматривать случай, когда оператор Н находится справа от а х (?).
Учитывая, что энергия и импульс электрона являются интегралами движения, возьмем от правой и левой части уравнения (10) производную по времени
где т - масса движущегося электрона, Е -его энергия. Согласно же уравнению (6), в релятивистской квантовой механике связь между скоростью и импульсом (8) нарушается, причем скорость, как и импульс, приобретает самостоятельное значение, поскольку, согласно уравнению (7), уже не является сохраняющейся величиной, а это, в свою очередь, означает, что скорость электрона несет в себе определенную информацию о характере его движения. Подробный анализ физического содержания соотношения (6) произведен Шредингером в работе [1].
В общем случае для решения уравнения (7) необходимо знать зависимость от времени операторов ах,у,2 (0 и 02(0 , которые также подчиняются определенным уравнениям, содержащим, из-за коммутационных соотношений (2) -(4), неизвестную скорость - сах (?). Это говорит о том, что для определения ах (0 необходимо решить систему дифференциальных уравнений, состоящую, в случае пространственного движения электрона, из девяти уравнений: уравнений для трех проекций а(?) и о(?), а
также трех уравнений для матриц Р12 3 (?). Если
еще учесть, что эти матрицы обладают коммутационными соотношениями (2) - (4), то решение системы даже в случае свободного движения электрона представляет большие трудности. К счастью, как показано в цитированной
Решая уравнение (11), найдем
Подставляя (12) в (10), получим
a x (t) = cpx+a x (0)-e
Н х' ' 2Н Умножая (13) на скорость света и интегрируя по времени, окончательно найдем
Остановимся подробнее на решении (14). Видно, что движение свободного электрона перестает быть «прямолинейным», при этом следует заметить, что второе слагаемое в (14) линейно растет со временем, причем коэффициент при ? является обычной скоростью электрона, соответствующей импульсу рх.
Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, в квантовой механике электрон вообще не имеет траектории движения. Поэтому понятие «прямолинейное движение» нуждается в уточнении. В данной работе под ним имеется в виду зависимость от времени оператора координаты свободного электрона
г(0 = ГО + V?, где V есть оператор его скорости, получающаяся в результате решения уравнения Гейзенбер-
га для этого оператора и совпадающая по форме с решением уравнений классической физики для координаты свободного электрона. Здесь же следует отметить, что, решая задачу в представлении Гейзенберга, все же можно получить некоторое представление о характере движения электрона, т.е. его траектории. Для этого необходимо усреднить оператор координаты этого электрона, явно зависящий от времени, по некоторому состоянию, определяющемуся волновой функцией электрона. При этом, поскольку усреднение производится по пространственным координатам, зависимость от времени среднего значения физической величины, соответствующей данному оператору, будет такой же, как и у самого оператора. Это, в свою очередь, означает, что зная вид функциональной зависимости, например, оператора координаты электрона от времени мы тем самым знаем характер движения данного электрона.
Вернемся к уравнению (14). Последнее слагаемое в этом уравнении быстро осциллирует около среднего значения и представляет, согласно Шредингеру [1], микроскопическое дрожательное (zitterbewegung) движение электрона, наряду с макроскопическим, определяемым скоростью Ух = с2рх /Н. Содержание понятия «микроскопическое движение» можно выяснить, если оценить амплитуду высокочастотных колебаний в (14). Согласно [1], она имеет следующий порядок п
т.е. порядок минимального размера электрона как волнового пакета. Поэтому для электрона с
макроскопической скоростью У = с2рх / Н отклонение центра тяжести облака заряда от прямолинейной траектории будет много меньше протяженности этого облака заряда. В этом как раз и заключается микроскопичность дрожательного движения электрона.
Несмотря на то, что эффект дрожательного движения был открыт Шредингером в 30-х годах прошлого века, он продолжает привлекать внимание многих физиков [4-19], занимающихся релятивистской квантовой механикой, и даже специалистов из других областей теоретической физики [20].
Установим связь рассмотренных выше эффектов с внутренней структурой электрона, т.е. с его спином.
В классической релятивистской механике у свободного электрона кроме энергии и импульса сохраняется еще и момент импульса. Но в релятивистской квантовой механике момент
импульса свободного электрона не является интегралом движения. Это видно уже из следующего соотношения
4т = "Г [г х Р] = [Г х Р] = с[а(?) х р]. (15)
Но, согласно гамильтониану (1), для матрицы о имеет место следующее уравнение П Го
Поэтому, складывая (15) и (16) получим новый интеграл движения
Г ( П Л dJ — I Т + — о 1 = — = 0,
J = Т + — о = сопб1. 2
где По /2 определяет оператор нового момента, получившего название спинового, а J - полный момент электрона. Таким образом, в релятивистской квантовой механике вместо момента импульса свободного электрона сохраняется его полный момент (17).
Перейдем теперь к основному содержанию данной работы. Согласно вышеизложенным результатам цитированной работы Шредингера, в релятивистской квантовой механике нарушается связь между импульсом электрона и его скоростью вследствие наличия у электрона спинового момента. В результате этого кардинально изменяется движение даже свободного электрона. В связи с этим представляет большой интерес определение характера движения электрона в релятивистской квантовой механике в случае, когда в классическом пределе это движение хорошо изучено и определено. Таким движением является, в частности, движение классического релятивистского электрона в однородном постоянном магнитном поле. Как известно, если электрон имеет в направлении магнитного поля составляющую скорости, то его траекторией движения является винтовая линия с центром вдоль направления поля, если же такой компоненты нет, то он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к направлению поля. Но этот результат справедлив только в случае, когда выполняется соотношение (8) между скоростью и импульсом электрона. В релятивистской квантовой механике этого соотношения не существует, поэтому возникает вопрос о характере движения релятивистского электрона - электрона Дирака - в постоянном магнитном поле. Ответу на этот и некоторые другие вопросы и посвящена оставшаяся часть работы.
2. Рассмотрим систему, состоящую из электрона Дирака и действующего на него однородного постоянного магнитного поля, имеющего, для простоты, одну составляющую
Гамильтониан этой системы имеет вид
Н = са • п + Рздас 2, (19)
где п = р - е / с А - кинетический импульс электрона, А - векторный потенциал магнитного поля.
Математически задача заключается в определении уравнений для г (?) и а (?), с учетом магнитного поля, и их решении.
Прежде чем перейти к выводу искомых уравнений, рассмотрим вопрос об интегралах движения для данной системы. Если у свободного электрона существует семь интегралов движения, то в случае его взаимодействия с магнитным полем их количество сокращается до трех. Это энергия, проекция импульса и полного момента в направлении поля. Сокращение числа интегралов движения приводит к увеличению количества уравнений для определения динамики электрона, а именно к девяти уравнениям, перечисленным в предыдущем параграфе для свободного электрона, но уже с учетом магнитного поля, необходимо добавить еще шесть уравнений: три уравнения для проекции кинетического импульса п и три уравнения для проекций момента импульса Ь или полного момента J электрона. В итоге получается система из 15 дифференциальных уравнений, решение которой, в общем случае, представляет как большой интерес, так и исключительные трудности. Но в данном случае, т.е. для постоянного магнитного поля, этих трудностей можно избежать, поскольку одним из интегралов движения, как и в случае свободного движения электрона, является его энергия, что дает возможность применить к изучаемой системе метод, использованный в предыдущем параграфе.
Итак, перейдем к выводу уравнений для г (?) и а(?). Из гамильтониана (19) и уравнения (5) для г(?) видно, что в случае наличия магнитного поля остается справедливым уравнение (6), т.е.
Вычислим далее следующий антикоммутатор [а, Н ]+ = аН+На. (21)
Используя выражение для а через матрицы Р1 и с, антикоммутирующие соотношения (3), а также формулы
(а • Ь)а = Ь + /[с х Ь], а(а • Ь) = Ь + /[Ь х с],
где Ь - произвольный вектор, найдем
Выражая из (22) На и подставляя в уравнение
,й^а(0 = 2а(?)Н - 2сп(?). (24)
Определим теперь уравнение для импульса п(?). Для этого вычислим коммутатор [п(?), Н]:
р — А, г(ґ)-I р — А с I с
У(Г(ґ) - А) = [Г(ґ) х гоїА] + (Г(ґ) - У)А, с учетом (25), найдем
Дифференцируя далее (24) по времени и подставляя в получившееся выражение (26), получим следующее уравнение для оператора скорости электрона Дирака
Преобразуем (27) к виду
Н + 2ес[а(ґ) х В] = 0. (27)
а(ґ)—- а(ґ) + [а(ґ) х юь ]— 2Н Н
где |шь\ = еВ0 /тс- циклотронная (ларморов-
ская) частота электрона.
Уравнение (28) имеет несколько особенностей. В первую очередь, следует заметить, что в отсутствие магнитного поля оно переходит в уравнение (11). Во-вторых, первое слагаемое в (28) является очень маленькой величиной по сравнению с остальными членами данного
уравнения. В-третьих, в нерелятивистском прел
деле, когда можно считать Н
тс , из (28) получается известное из нерелятивистской физики уравнение для скорости электрона в магнитном поле
Перейдем теперь к решению уравнения (28). Поскольку магнитное поле имеет одну компоненту вдоль оси oz, то в направлении магнитно-
го поля, с учетом сохранения соответствующей компоненты импульса электрона, для системы уравнений (20) и (28) применимы решения (12) и (14) для свободного электрона, т.е.
Для компонент же ах и а из (28) получим следующую систему дифференциальных урав-