Третья гражданская революционная война в Китае: путь КПК к победе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Третья Гражданская война за независимость стала кульминацией долгих внутренних вооруженных конфликтов, которые китайская коммунистическая партия вела для освобождения китайского народа от внутреннего и внешнего притеснения. Основные факторы, способствовавшие победе КПК в гражданской войне поддержка со стороны масс, активная помощь и поддержка со стороны СССР, правильная стратегия и тактика, слабость гоминьдановского режима.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Рябченко Николай Павлович

The Third Civil Revolutionary war in China: the way of Chinese Communist Party toward the victory

The Third Civil Revolutionary war became the culmination of long internal armed fights, which the Chinese Communist Party waged for liberation of Chinese people from internal and external oppression. The main factors, promoted victory of CCP in civil war were support on the part of masses, active help and support on the part of the USSR, that became the reliable rear for Chinese communists, correct strategy and tactics, internal weakness of Kuomintang regime. The Important role has played that in the cold war the USA paid attention to European direction as the most important one and don't want to involve deeply in civil war in China.

Текст научной работы на тему «Третья гражданская революционная война в Китае: путь КПК к победе»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 77. Вып. 4, 2013

© 2013 г. А. М. Русинова

О ДИНАМИКЕ ОДНОРОДНОЙ ШАЙБЫ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ

Обсуждается задача о движении однородного кругового цилиндра по неподвижной наклонной шероховатой плоскости. Предполагается, что цилиндр опирается о плоскость своим основанием и совершает безотрывное движение. Силы и момент трения вычисляются в рамках динамически совместной модели, предложенной А.П. Ивановым, для которой распределение давления по пятну контакта неравномерно. Дан качественный анализ динамики цилиндра в случае, когда тангенс угла наклона плоскости меньше коэффициента трения Кулона.

Рассматриваемая задача обобщает задачу о движении цилиндра по горизонтальной плоскости [1, 2] и задачу о движении диска (цилиндра нулевой высоты) по наклонной плоскости [3].

1. Постановка задачи. Описание модели. Рассмотрим движение однородного кругового цилиндра массы т с радиусом основания а и высотой 2Н по неподвижной наклонной плоскости с трением. Цилиндр опирается о плоскость своим основанием и совершает безотрывное движение, u — скорость центра масс цилиндра, а ш — угловая скорость цилиндра. Применяя основные теоремы механики, выпишем уравнения движения цилиндра на наклонной плоскости

Здесь g — ускорение свободного падения, N — нормальная реакция наклонной плоскости, F — результирующая сила трения, действующая на цилиндр, М и Мж — моменты сил трения и нормальных реакций, вычисленные относительно центра масс цилиндра. Так как цилиндр совершает плоскопараллельное движение, скорость u центра масс цилиндра параллельна наклонной плоскости, а угловая скорость ш перпендикулярна этой плоскости.

Введем правый ортонормированный репер СЬ^^, такой, что С — центр основания цилиндра, орт e1 направлен вдоль скорости u = ж1 (и > 0) точки С, орт e2 ортогонален скорости u и, как и орт e1, лежит в наклонной плоскости, а орт e3 направлен по нормали к плоскости движения. Тогда ш = ^3.

Положение произвольной точки А основания цилиндра определяется углом р е [0, 2п) между векторами e1 и СА и расстоянием г = СА.

Силы N и F, а также моменты М и МN рассчитываются по формулам

т и = т g + N + Г, та2 ш / 2 = M + M^

S — основание цилиндра, п(А) — плотность нормального давления в точке А, k > 0 — коэффициент трения скольжения, и(А) — скорость точки А, которая может быть вычислена по формуле Эйлера

и (A) = u + [ w х CA ] = ( и - ю r sin р) e1 + юг cos pe2

Для определения плотности нормального давления п(А) воспользуемся динамически совместной моделью контактных напряжений [1]. Будем считать, что

n (A) = + ^ir cos p + X2r sin p

причем коэффициенты А,0, 11, Х2 определяются в каждый момент времени из соотношений, обеспечивающих безотрывность движения цилиндра:

(mg + N + F, e3) = 0, (M + M№ e;) = 0, i = 1, 2

Было показано [1], что A,0 = (na2)-1mgcosa, а коэффициенты X2 находятся как реше-

ние системы двух линейных уравнений

йц^1 + а 12 ^2 = a10 ^0, a21 ^1 + a22^2 = a20^0 (1.2)

= -kHY íш£ъdedr, a22 = kHY J(

Г r( u - r sin e lsin e de dr D(r, p; и)

a12 = -an = , a10 = 0, a%) = -kHÍr f “- rsinP dpdr

D(r, p; и) = Ju2 - 2 Ursin p

Система (1.2) имеет единственное решение

л a 20 л a,,a,n^n a n

^1 — д , ^2 — д ; ^ — a11a22 — a12a21 > П

Как было указано [1], предполагается, что выполнено неравенство n(A) > 0, равносильное условию

Результирующая сила трения, действующая на цилиндр, и главный момент внешних сил, вычисленный относительно центра цилиндра, определяются по формулам

F — - F1e1 - F2 e2, M — -Me3

Fi — nka2Xffj, i — 1, 2, M — nka3Xf

f1— 1 ís í(1+^ 5 sin e) D (srS"Udeds, f2— 1 F í D(1C oes e >de ds

nJ J D(s, p; u) nJ JD(s, p; u)

Гг = П JV J<1 + kssinP)dHds

s = -, Q = a ю, к = —, и = —

2. Уравнения движения цилиндра. Пусть у — угол между линией наибольшего ската

наклонной плоскости и вектором e:. Учитывая, что репер Ce:e2e3 совершает плоскопараллельное движение, заключаем, что его угловая скорость равна \jz e3. Значит, Ú = = U е: + u \jz e2. Выпишем уравнения (1.1) в проекциях на подвижные оси репера Ce:e2e3

mU = mgsin a cos y - F1, mu\j^ = - mg sin a sin у - F2, maQ / 2 = -Af Без уменьшения общности выберем единицы измерения массы, длины и времени так, что m = 1, a = 1, gsin a = 1 Тогда уравнения движения цилиндра примут вид

U = cos у - к/1, и у = - sin у - к/2, Q = -2 к/3; к = к ctg a (2.1)

Заметим, что множество Q = 0 инвариантно для рассматриваемой системы уравнений, поэтому знак угловой скорости цилиндра не меняется в процессе движения. Далее будем считать, что Q > 0.

3. Динамика цилиндра при к > 1. Введем обозначения

/^ = 1 JS J"< 1 + k,1scos р + kssinp)D<s, р; и)dpds (3.1)

A<u, 5) = JS J< 1 + k2Ssinp)(D<s, p; и) - и)dpds (3.2)

Так как k2 = k2 (и , 8), то функция (3.2) является функцией переменных и и 8.

Вычислим производную от кинетической энергии цилиндра Т = (u2 + Q2/2)/2 по времени в силу системы (2.1):

и представим ее в виде

T = и< cos у - 1) + < и - /1) + < 1 - к) /1 (3.3)

Первое слагаемое в правой части соотношения (3.3) неположительно. Второе слагаемое можно представить в виде

Рассмотрим интеграл (3.2). Производная функции (3.2) по 8 имеет вид

d 5 d 5 <); d 5 < n2 + 5 2ana 22 ) 2, <) J J

aii = -> 0, i = 1, 2, ¿20 = - —2 > 0

Она неположительна при всех допустимых значениях 8, поскольку 2 > 0, B< и) < 0 .

Численный анализ показывает, что А( и , 1) > 0. Следовательно, функция (3.2) неотрицательна при всех 8 е [0, 1]. Так как в процессе движения цилиндра Q > 0, второе слагаемое в правой части соотношения (3.3) неположительно.

Пусть коэффициент трения больше тангенса угла наклона плоскости. Из соотношения (3.3) следует, что T< <к — 1)I1 < <к — 1)I1/2 .

При 0 < s < 1/2 выполняется неравенство 1 + k1s cos р + k2s sin р > 1/2 , поэтому T<< 1 - к)/<211/2) (3.4)

D<s, р; и) > < 1 - |sinр|)1/2<и2 + s2)1/2 > s< 1 - |sinp|)1/2<и2 + s2)1/2 из неравенства (3.4) имеем

dJlT/dt < -p, p = <Jl - 1 )<к - 1) / < 6 n)

Таким образом, 0 < JlT < JlT0 — pt, т.е. при к > 1 цилиндр останавливается за конечное время

2 2 1/2 t* << u0 + Q0/2) /p < + да

Покажем, что (при Q0 Ф 0) скольжение и верчение цилиндра прекращаются в один и тот же момент времени t*. Действительно, если существует момент времени tu < t*, такой, что u(t) = 0, Q(t) Ф 0 при t е [tu, t*), то на этом промежутке времени не выполняются первые два уравнения системы (2.1). Если же существует момент времени ta < t*, такой, что Q(t) = 0, u(t) Ф 0 при t е [ta, t* ), то из последнего уравнения системы (2.1) следует, что Q(t) = 0 при всех t, т.е. и при t = 0, что противоречит условию Q0 Ф 0.

4. Предельное движение цилиндра. Выясним характер предельного при t ^ t* — 0 движения цилиндра. Для этого исследуем вопрос о существовании конечных пределов и * = lim и (t) и у* = limy(t) при t ^ t* — 0, полагая, без уменьшения общности, что Q0 > 0 (при этом Q(t) > 0 при всех t е [0, t*), случай Q0 < 0 рассматривается аналогично).

Перейдем к переменным и , т = ln(Q0/Q). Уравнения движения цилиндра (2.1) примут вид

dü = cos у - к / < и) - 2/ < и ) ) dW = - sin у - к/2 < й ) (4 1)

dx 2к/3 < и) ’ d т 2к и/3 < и)

Положения равновесия (и * , у*) системы могут быть найдены как решения системы уравнений

cos у* = g< и *), sin у* = -к/, < и *); g< и *) = к/^ и *) - 2и */ <и *)) (4.2)

Она имеет решение тогда и только тогда, когда g2< и * ) + / 2< и * ) = к 2 .

Качественный вид графика функции g2( и) + / 2 (и) при фиксированном значении 8

приведен на фиг. 1. Значение функции стремится к (1 + (8/2)2)/2 при и ^ +<». Из графика видно, что в зависимости от значения к (при фиксированном значении 8), система (4.1) может иметь одно, два или три положения равновесия.

Для исследования устойчивости положения равновесия рассмотрим систему первого приближения

dT 2/з<и*Г 2к/з < и *) V*7

Характеристический многочлен имеет вид

В зависимости от значений параметров 1/к и 8 меняется количество положений равновесия системы и их характер (см. фиг. 2). В области I нет положений равновесия,

в области II — одно асимптотически устойчивое, в области III к этому асимптотически устойчивому равновесию добавляются два неустойчивых, в области IV — два асимптотически устойчивых и одно неустойчивое, в области V — одно асимптотически устойчивое, в области VI — одно неустойчивое. На границах между областями III и IV, а также V и VI характеристический многочлен %(А,) имеет пару чисто мнимых корней, все остальные границы соответствуют случаю, когда один из корней многочлена %(А,) равен нулю.

Надо отметить, что в случае одного нулевого корня характеристического многочлена новые положения равновесия не ответвляются от уже существующего равновесия, а появляются в некоторой другой точке (бифуркация рождения). Это проиллюстрировано на бифуркационной диаграмме при фиксированном значении 8 = 0.5 (фиг. 3).

В случае, когда 1/к и 8 лежат в области II, в исходных переменных u, Q, у существует область начальных условий

такая, что при (u0, Q0, у0) е D имеем

u (t) / Q( t) ^ u *, у( t) ^ у * при t ^ t* - 0

Это обстоятельство существенно отличает задачу о движении цилиндра по наклонной плоскости от аналогичной задачи в случае горизонтальной плоскости [1, 2], для которой угол y(t) ^ —да при t ^ t* — 0 для любых начальных условий u0 Ф 0, Q0 Ф 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (10-01-00292), а также при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.В37.21.2013 “Математические модели и методы нелинейной динамики в задачах механики и экономики”.

1. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. Москва—Ижевск: РХД; Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 302 с.

2. Сальникова Т.В., Трещев Д.В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 1. С. 83—101.

3. Карапетян А.В., Русинова А.М. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 5. С. 731-737.