Задания по теме «Тригонометрические функции»

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке \left[0;\,\frac\right].

Найдём производную исходной функции:

y'= (12x)'-12(tg x)'-(18)'= 12-\frac= \frac\leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Задание №1128

Найдите наименьшее значение функции y=32tg x - 32x-8\pi+103 на отрезке \left[-\frac; \frac\right].

Найдём производную исходной функции:

y'= 32(tg x)'-(32x)'-(8\pi )'+(103)'= \frac-32= \frac\geqslant0. Значит, исходная функция является неубывающей на рассматриваемом промежутке и принимает

наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=-\frac. Наименьшее значение равно y\left(-\frac\right)= 32tg\left(-\frac\right)-32\cdot\left(-\frac\right)-8\pi+103= -32+103= 71.

Задание №1122

Найдите точку минимума функции y=(0,7-x)\cos x+\sin x+2, принадлежащую промежутку \left(0; \frac\right).

Найдём производную исходной функции: y'= (0,7-x)' \cos x\,+ (0,7-x)(\cos x)'+(\sin x)'+(2)' = -\cos x+(0,7-x)\cdot (- \sin x)+ \cos x= (x-0,7) \sin x. Найдём нули производной на интервале \left(0; \frac\right), учитывая, что на этом множестве \sin x>0.

Имеем (x-0,7) \sin x=0;

Значение x=0,7 принадлежит интервалу \left(0; \frac\right). При x \in (0; 0,7) выполняется неравенство y'(x)<0. При x \in \left(0,7; \frac\right) выполняется неравенство y'(x)>0.

Отсюда x=0,7 является единственной точкой минимума на рассматриваемом интервале.

Задание №1118

Найдите наименьшее значение функции y=24+\frac-9x-9\sqrt2\cos x на отрезке \left[0; \frac\right].

Найдём производную исходной функции: y'=-9+9\sqrt 2 \sin x. Вычислим нули производной: y'=0;

На отрезке \left[0; \frac\right] этому уравнению удовлетворяет только x=\frac. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.

Из рисунка видно, что при x<\frac выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Аналогично, при x>\frac выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при x=\frac и равно y\left(\frac\right)= 24+\frac-9\cdot\frac-9\sqrt2\cos \frac= 24-9=15.

Задание №957

Найдите точку максимума функции y=(4x-5)\cos x-4\sin x+12, принадлежащую промежутку \left ( 0; \frac \right ).

Найдём производную исходной функции: y'= (4x-5)'\cos x+(4x-5)(\cos x)'-4(\sin x)'+(12)'= 4\cos x+(4x-5)\cdot(-\sin x)-4\cos x= -(4x-5)\sin x.

Найдём нули производной на интервале \left ( 0; \frac \right ), учитывая, что на этом множестве \sin x>0.

Имеем -(4x-5)\sin x=0,

Значение x=\frac54 принадлежит интервалу \left ( 0; \frac \right ). При x\in\left ( 0; \frac54 \right ) выполняется неравенство y'(x)>0. При x\in\left ( \frac54; \frac \right ) выполняется неравенство y'(x)<0. Отсюда x=\frac54=1,25 является единственной точкой максимума на рассматриваемом интервале.

Задание №955

Найдите наибольшее значение функции y=18\cos x+9\sqrt3 x-3\sqrt3 \pi+16 на отрезке \left [ 0; \frac \right ].

Найдём производную исходной функции: y'=-18\sin x+9\sqrt3. Вычислим нули производной: y'=0.

На отрезке \left [ 0; \frac \right ] этому уравнению удовлетворяет только x=\frac. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.

Из рисунка видно, что при x<\frac выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Аналогично при x>\frac выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при x=\frac и равно y\left ( \frac \right )= 18\cos\frac+9\sqrt3\cdot\frac-3\sqrt3 \pi+16= 9+16=25.

Задание №128

Найдите наибольшее значение функции y=13tgx-13x+5 на отрезке \left [ -\frac; 0 \right ] .

Вычислим производную функции.

Производная функции на всем промежутке возрастает, значит наибольшее значение функции она достигает на правом конце отрезка. Вычислим значение функции в этой точке.

Точка 5 – наибольшее значение функции.

Задание №127

Найдите наименьшее значение функции y=8\cos x-17x+6 на отрезке \left [ -\frac; 0 \right ] .

Вычислим производную функции.

Так как выражение -8\sin x при любых значениях x всегда не больше чем 8 , то полученная разность меньше нуля, а это говорит о том, что функция убывает. Следовательно наименьшее значение функция достигает на правом конце отрезка. Вычислим это значение.

Точка 14 – наименьшее значение функции.

Задание №126

Найдите точку максимума функции y=(2x-3)\cos x-2\sin x+2 на промежутке \left ( 0; \frac \right ) .

Вычислим производную функции.

y'=2\cos x-(2x-3)\sin x-2\cos x

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

\left [\begin 3-2x=0 \\ \sin x=0 \end \right .

\left [\begin x=1,5 \\ x=\pi n, n \in \mathbb \notin \left ( 0; \frac \right) \end \right .

На числовой оси отложим граничные точки промежутка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 1,5 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 1,5 – точка максимума функции.