Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.

Пусть задана некая бесконечная последовательность чисел: $\$: $u_1$, $u_2$, $u_3$. $u_n$. .

Числа $u_1$, $u_2$, $u_3$ и т.д. именуют членами ряда. Например, $u_1$ – первый член ряда, $u_2$ – второй член ряда, $u_$ – семьдесят восьмой член ряда. Выражение $u_n$ называют общим членом ряда.

Для примера рассмотрим последовательность $\left\$ и составим соответствующий числовой ряд. Чтобы не разрывать изложение, данный пример я скрыл под примечание.

Пример числового ряда: показать\скрыть

Пусть нам задана последовательность $\left\$. Общий член этой последовательности $u_n=\frac$. Запишем для начала несколько первых членов. Подставляя $n=1$ в равенство $u_n=\frac$, получим первый член данной последовательности:

Аналогично, подставляя $n=2$ и $n=3$ получим второй и третий члены последовательности:

Этот процесс можно продолжать, находя $u_4$, $u_5$ и т.д. Теперь запишем бесконечную сумму, состоящую из элементов данной последовательности:

Выражение $\frac+\frac+\ldots+\frac+\ldots$ и будет числовым рядом. Числа $u_1=\frac$, $u_2=\frac$ – это первый и второй члены числового ряда; а $u_n=\frac$ – это общий член данного ряда.

Однако чаще всего развёрнутую запись: $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$ не используют. Её сокращают в такую форму: $\sum\limits_^u_n$. Обе записи эквивалентны:

Если для вас знак $\sum$ требует пояснений, то советую развернуть примечание.

Что обозначает знак $\sum$? показать\скрыть

Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").

Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_^i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования, а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись $\sum\limits_^i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:

Следующее целое число после единицы – двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:

После двойки следующее число – тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_^i^2=55$.

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_^(5k+2)$. Индекс суммирования здесь – буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

Вовсе не обязательно нижний предел суммирования будет равен единице. Он может равняться любому целому числу, просто в большинстве случаев начальное значение индекса суммирования берут равным $n=1$. Впрочем, нижний предел суммы всегда можно изменить (см. пример №3).

Записать первые четыре члена ряда $\sum\limits_^\frac$. Указать общий член ряда.

Чтобы записать несколько первых членов ряда, достаточно подставить в выражение $\frac$, расположенное под знаком суммы, числа $n=1$, $n=2$, $n=3$ и т.д.:

А можно просто написать, что $u_1=3$, $u_2=\frac$, $u_3=\frac$, $u_4=\frac$.

Мы имеем ряд вида $\sum\limits_^u_n$. Нижний предел суммирования нашего ряда равен $1$, поэтому общий член ряда записан под знаком суммы. Вот он: $u_n=\frac$.

Полагаю, сразу же возникнет вопрос: а что будет, если нижний предел суммирования не равен единице? Совпадёт ли выражение под знаком суммы с общим членом ряда? Ответ в общем случае отрицательный: скорее всего, не совпадёт. Советую глянуть пример №2, чтобы выяснить, что же будет в этом случае. Впрочем, в подавляющем большинстве учебных примеров нижний предел суммирования берут равным именно единице.

Подставляя в равенство $u_n=\frac$ вместо $n$ любой номер, мы получим соответствующий член ряда. Например, подставляя $n=4$, получим четвёртый член ряда, а подставляя $n=31$ – тридцать первый член ряда:

Как видите, если известен общий член ряда, то легко записать член ряда с каким угодно номером, – достаточно лишь подставить вместо $n$ требуемый номер. Гораздо сложнее обратная задача: по нескольким заданным первым членам ряда записать общий член, однако этому вопросу посвящена иная тема.

Кстати сказать, нам совершенно неважно, задан ли номер члена ряда числом или выражением. Например, член ряда с номером $n=k^2+3k-1$ будет таким:

А член ряда с номером $n+1$ будет таким:

Ответ: Общий член ряда: $u_n=\frac$. Первые четыре члена ряда: $u_1=3$, $u_2=\frac$, $u_3=\frac$, $u_4=\frac$.

Записать первые пять членов ряда $\sum\limits_^\frac$. Указать общий член ряда.

Суммирование в нашем случае начинается при $n=3$ (т.е. нижний предел суммирования равен 3), поэтому чтобы записать первые пять членов ряда нужно подставить $n=3$, $n=4$, $n=5$, $n=6$, $n=7$ в выражение $\frac$:

Теперь нужно указать общий член ряда. Казалось бы, всё просто: вот он, этот общий член – стоит под знаком суммы. Просто перепишем и всё:

Однако такая формула некорректна. Чтобы это проиллюстрировать, давайте подставим в формулу $u_n=\frac$ число $n=4$. Мы получим следующее:

Мы получили вовсе не то, что нужно! Четвёртый член ряда был найден ранее: $u_4=\frac$. Формула $u_n=\frac$ дала сбой. Почему? Ответ на данный вопрос прост: дело в том, что значение индекса суммирования (т.е. значение переменной $n$) не совпадает с номером члена ряда. И это неудивительно, ибо нумерация членов ряда начинается с единицы, а первое значение индекса $n=3$. Поэтому под знаком суммы стоит вовсе не общий член ряда:

Заметьте, что число, которое мы подставляем в выражение $\frac$, на 2 больше, чем номер члена ряда. Т.е. если номер равен $n$, то в выражение $\frac$ пойдёт число $n+2$. Соответственно, общий член ряда имеет такой вид:

Вот теперь общий член ряда записано верно. Например, для $n=4$ согласно формуле $u_n=\frac$ получим:

Можно, кстати, и исходный ряд переписать по-иному, начав суммирование при $n=1$:

Изменение нижнего предела суммирования (т.е. начального значения $n$) никоим образом не влияет на сам ряд. Изменяется лишь форма записи, но не содержание суммы. Можно было вообще изменить значение нижнего предела суммирования в самом начале решения.

Ну, а теперь немного о реалиях: нередко на такие "мелочи" внимания не обращают. И автор книги или методички по высшей математике так и пишет: $u_n=\frac$, ничуть не озаботясь тем, что эта формула даёт неверные результаты (а при $n=1$ и $n=2$ значение выражения $\frac$ вообще не определено). И это может привести к печальным ошибкам: например, к сбоям в программе. Поэтому с нумерацией желательно обращаться крайне внимательно. При необходимости нижний предел суммирования можно поменять в самом начале решения.

Для ряда $\sum\limits_^\frac$ изменить нижний предел суммирования на 1. Указать общий член ряда.

Нижний предел суммирования равен 4, т.е. начальное значение индекса $n$ равно четырём. Введём новый индекс таким образом, чтобы его начальное значение равнялось 1. Этот новый индекс суммирования обозначим буквой $t$.

Итак, если $n=4$, то $t=1$, т.е. $n=t+3$. Подставляем в $\frac$ вместо $n$ выражение $t+3$. При этом не забываем, что новый индекс $t$ изменяется с 1:

В принципе, полученное выражение $\sum\limits_^\frac$ можно так и оставить. Однако обычно новую букву $t$ не вводят, а продолжают работать со "старым" обозначением индекса, т.е. с $n$. В самом деле, разве что-то изменится, если вместо одной буквы подставить иную?

Если пропустить все промежуточные выкладки, то мы приходим к простому равенству:

Можете проверить этот результат, найдя несколько первых членов суммы в левой и правой частях равенства.

Так как нижний предел суммы $\sum\limits_^\frac$ равен 1, то под знаком суммы расположен общий член ряда, т.е. $u_n=\frac$.

Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток ряда.

Пусть задан числовой ряд

Например, сумма первых пяти членов ряда (1) есть пятая частичная сумма ряда, т.е. $S_5$:

Например, если мы отбросим первые три члена ряда (1), то получим третий остаток $r_3$:

Теперь перейдём к понятию суммы ряда. Пусть $S_n$ – n-я частичная сумма ряда (1).

Вопрос вычисления суммы числового ряда рассмотрен в соответствующей теме.

Задан ряд $\sum\limits_^\frac$. Записать первую, вторую, третью и четвёртую частичную суммы. Указать первый, второй и третий остатки.

Нижний предел суммирования равен 1, поэтому под знаком суммы стоит общий член ряда: $u_n=\frac$.

Первая частичная сумма $S_1$ совпадает с первым членом ряда:

Вторая частичная сумма $S_2$ – это сумма первых двух членов ряда:

Третья частичная сумма $S_3$ – это сумма первых трёх членов ряда:

Четвёртая частичная сумма $S_4$ – это сумма первых четырёх членов ряда:

Естественно, что любую частичную сумму можно вычислить, просто сложив элементы. Например, $S_2=\frac+\frac=\frac$.

Теперь перейдём к остаткам. Отбрасывая первый член, получим первый остаток ряда:

Отбрасывая первые два члена, запишем второй остаток ряда:

Отбрасывая первые три члена, запишем третий остаток ряда:

В принципе, при желании остатки можно записать в сжатой форме:

Частичные суммы: $S_1=\frac$, $S_2=\frac+\frac$, $S_3=\frac+\frac+\frac$, $S_4=\frac+\frac+\frac+\frac$.
Остатки: $r_1=\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots$, $r_2=\frac+\frac+\frac+\ldots$, $r_3=\frac+\frac+\ldots$.

Некоторые свойства числовых рядов

Ряд $\sum\limits_^u_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков $r_n=\sum\limits_^u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.
Если ряд $\sum\limits_^u_n$ сходится и сумма его равна $S$, то любой его остаток $r_n$ стремится к нулю при $n\to\infty$, т.е. $\lim_r_n=0$. Кроме того, верна формула $r_n=S-S_n$, где $S_n$ – n-я частичная сумма заданного ряда.
Если ряд $\sum\limits_^u_n$ расходится и $C\neq 0$, то ряд $\sum\limits_^Cu_n$ также расходится.
Если ряд $\sum\limits_^u_n$ сходится и сумма его равна $S$, то и ряд $\sum\limits_^Cu_n$ также сходится и сумма его равна $CS$ ($C$ – некоторая константа).
Если ряды $\sum\limits_^u_n$ и $\sum\limits_^v_n$ сходятся и суммы их равны соответственно $S_1$ и $S_2$, то и ряд $\sum\limits_^\left(u_n\pm v_n\right)$ также сходится и сумма его равна $S_1\pm S_2$.
Необходимое условие (признак) сходимости ряда: если ряд $\sum\limits_^u_n$ сходится, то $\lim_u_n=0$.
Достаточное условие (признак) расходимости ряда: если $\lim_u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_^u_n$ расходится.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎