Теория вероятности. Задачи ГИА В15

Прежде, чем мы начнем решать задачи, давайте-ка освежим знания по теории вероятностей.

Для чего же нужна теория вероятностей? Дело в том, что вся наша жизнь состоит из событий , которые случаются с нами или нет. Это хорошие и плохие события – неважно, какие они, важно то, произошли они, или нет, произойдут, или минуют. Поскольку мы не знаем, случится событие или нет – мы называем его случайным . Как оценить шансы события на то, что оно все-таки произойдет – это задача теории вероятности.

События, которые никогда не произойдут – это события невозможные . Например, вероятность того, что Земля без причин изменит направление своего вращения вокруг Солнца – очевидно, равна нулю. Или что число дней в следующем месяце будет равно 32. Или выпадение 7 при бросании игрального кубика.

События, которые точно произойдут, называются достоверными . Их вероятность равна 1 – например, вероятность наступления зимы, по крайней мере, календарной.

Случайное событие, как мы уже сказали, может произойти, а может не произойти. Частотой такого события называется отношение удачных опытов (таких, в которых событие произошло) к числу всех проведенных опытов. Исходы таких опытов называют элементарными исходами , которые могут включать благоприятные исходы – такие, в которых событие произошло. Чем больше проведенных опытов, тем ближе частота к вероятности. То есть, если опыт был проведен достаточно много раз, то можем считать, что вероятность события равна его частоте.

1. На та­рел­ке лежат пи­рож­ки, оди­на­ко­вые на вид: 4 с мясом, 1 с ка­пу­стой и 3 с яб­ло­ка­ми. Петя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с яб­ло­ка­ми.

Всего пирожков 8, то есть Петя может выбрать любой – один из восьми. Тогда элементарных исходов – 8. Благоприятных исходов всего 3 – ведь пирожков с яблоками три на тарелке. Тогда вероятность такого выбора равна 3/8. Задача решена, однако, ответ надо записать в бланк. Для этого его надо представить десятичном виде – в виде дроби с основанием 10, 100, 1000 и т.д. Как это сделать в данном случае? Чтобы получить в основании 100, разделим на 2 всю дробь и умножим на 25:

2. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии.

Кому-то первым стартовать придется, это может быть любой из спортсменов. То есть всего исходов столько, сколько всего спортсменов – 20. Благоприятны нашему событию такие, когда стартовать первым будет не россиянин – а не россиян всего 7. Иными словами, вероятность, что первым будет не россиянин – 7/20. Представим результат в виде десятичной дроби:

3. Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет маль­чик.

Элементарных исходов столько, сколько всего игроков – пять. Из них мальчиков двое, благоприятных исходов – два из пяти. Вероятность равна

4. Коля вы­би­ра­ет трех­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5.

Сначала посчитаем, сколько у нас всего трехзначных чисел: из тысячи отбрасываем 99 первых, и последнее, 1000 – четырехзначное число. Тогда имеем 900 трехзначных чисел. на 5 делится каждое пятое: 900/5= 180. Проверим результат. Имеем алгебраическую прогрессию со знаменателем d=5. Первый член прогрессии – 100. Последний – 995. Определим число членов с помощью формулы n-ного члена:

Ну и осталось определить вероятность: благоприятных исходов 180, а всего 900:

5.В каж­дой де­ся­той банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам слу­чай­но. Варя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Варя не най­дет приз в своей банке.

Данная задача – на противоположные события. Некоторые события могут образовывать пары “случилось – не случилось”. Так как одно событие из пары произойдет обязательно, то вероятность пары событий равна 1. Если событие 1 с вероятностью А – “случилось” – то противоположное ему событие 2 с вероятностью В – “не случилось”. Тогда вероятность события 2 равна 1 – А.

Раз приз в каждой 10-й банке, значит, вероятность выиграть его – 1/10. Тогда вероятность не выиграть:

6. В сред­нем на 50 исправных фо­на­ри­ков при­хо­дит­ся два не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность ку­пить ра­бо­та­ю­щий фо­на­рик.

Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Итак, здесь важно не ошибиться. Если на 50 работающих фонариков с одной стороны приходится 2 неработающих, то всего фонариков – 52! Это тонкость этой задачи. Вероятность купить работающий фонарик равна 50/52, и к сожалению, придется считать в столбик, чтобы дать правильный ответ: 0,9615. Округляем до сотых:

7. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 2 до 51 вклю­чи­тель­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом?

Всего жетонов в мешке – . Однозначных номеров 8 штук: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значит, благоприятных исходов 8 из 50. Тогда вероятность равна 8/50 или 16/100.

8. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд будет пер­вой вла­деть мячом. Ко­ман­да Волга долж­на сыг­рать два матча — с ко­ман­дой Енисей и с ко­ман­дой Сургут. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в обоих мат­чах пер­вой мячом будет вла­деть ко­ман­да Волга.

Всего у монетки 2 стороны – то есть имеем два исхода для первого матча, и два исхода для второго. То есть всего четыре исхода. Составим дерево: событие А – выпадает орел, событие В – выпадает решка. Если выпадает орел, мячом владеет Волга.

Видим, что изо всех исходов (из 4) нас устраивает единственный. Тогда вероятность равна 1/4, или 0,25.

9. Из каж­дых 1000 элек­три­че­ских лам­по­чек – 5 бра­ко­ван­ных. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность ку­пить ис­прав­ную лам­поч­ку?

В от­ве­те ука­жи­те ре­зуль­тат, округ­лен­ный до ты­сяч­ных.

Всего лампочек у нас 1000: 995 работают, и 5 – нет. Вероятность купить исправную лампу равна 995/1000. Осталось это записать десятичным числом: 0,995.