Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения

Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики:

1. в нем должно быть несколько слагаемых;
2. все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
3. все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.

Алгоритм решения

И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу:

Первое слагаемое в этом уравнении — 3cosx 3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx \cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx 5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени.

Переходим ко второму выражению:

4 sin 2 x+sin2x−3=0

Первый член этой конструкции — 4 sin 2 x 4x.

Теперь мы можем записать следующее решение:

sin 2 x=sinx⋅sinx

Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x \sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла:

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум.

Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем:

А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде:

1= sin 2 x⋅ cos 2 x

Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде:

3=3 ( sin 2 x⋅ cos 2 x ) =3 sin 2 x+3 cos 2 x

Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два.

С третьим выражением то же самое:

sin 3 x+ sin 2 xcosx=2 cos 3 x

Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin 3 x x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin 2 xcosx x\cos x.

sin 2 — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx \cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2 cos 3 x 2x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени.

У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x 2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений.

С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага:

\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества ( sin 2 x⋅ cos 2 x=1 ) \left( x\cdot x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0 \cos x=0. Мы получим следующее выражение:

Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx \cos x — ноль, а вместо sinx \sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что

2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку

\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos n x x, где n n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает:

\[\begin \lt /p \gt \lt p role="textbox" aria-readonly="true" style="text-align: center;" \gt \lt span style="width: 7.146em; display: inline-block;" \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 5.414em; height: 0px; font-size: 132%;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(-0.322em 1000.003em 4.169em -0.322em); top: -2.162em; left: 0.003em;" \gt \lt span \gt \lt span style="padding-right: 0.165em; padding-left: 0.165em;" \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 5.035em; height: 0px;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(2.871em 1000.003em 5.306em -0.484em); top: -4.002em; left: 0.003em;" \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.003em; height: 0px;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(3.845em 1000.003em 4.169em -0.484em); top: -4.976em; right: 0.003em;" \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 5.035em; height: 0px;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(0.652em 1000.003em 3.033em -0.484em); top: -3.136em; left: 0.003em;" \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 2.113em; height: 0px; margin-right: 0.111em; margin-left: 0.111em;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(1.356em 1000.003em 2.33em -0.43em); top: -2.865em; left: 50%; margin-left: -0.917em;" \gt \lt span \gt \lt span style="font-family: MathJax_Main;" \gt sinx \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span \gt \lt span style="font-family: MathJax_Main;" \gt cosx \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span style="border-left-width: 2.113em; border-left-style: solid; display: inline-block; overflow: hidden; width: 0px; height: 1.25px; vertical-align: 0.003em;" \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt =tg \lt span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.003em;" \gt \lt /span \gt x \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt span \gt \lt span style="display: inline-block; position: relative; width: 2.113em; height: 0px; margin-right: 0.111em; margin-left: 0.111em;" \gt \lt span style="position: absolute; clip: rect(1.572em 1000.003em 2.33em -0.43em); top: -2.865em; left: 50%; margin-left: -0.971em;" \gt \lt span \gt \lt span style="font-family: MathJax_Main;" \gt cosx \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span \gt \lt span style="font-family: MathJax_Main;" \gt cosx \lt /span \gt \lt /span \gt \lt span style="border-left-width: 2.113em; border-left-style: solid; display: inline-block; overflow: hidden; width: 0px; height: 1.25px; vertical-align: 0.003em;" \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt =1 \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \lt /span \gt \begin& \frac=tgx \\& \frac=1 \\\end \\ \\\end\]

Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике.

Решаем реальные задачи

Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Предположим противное, что

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:

\begin& 3\cdot 0+5\cdot \left( \pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end

На основании этого можно сказать, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx \cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:

3 ( cosx cosx ) +5 ( sinx cosx ) =0 3+5tg x=0 tg x=− 3 5

Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурировать arctg x arctgx:

x=arctg ( − 3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left( -\frac \right)+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n,n\in Z

Поскольку arctg arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

4 sin 2 x+sin2x−3=0

Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:

4 sin 2 x+2sinxcosx−3 ( sin 2 x+ cos 2 x ) =0 4 sin 2 x+2sinxcosx−3 sin 2 x−3 cos 2 x=0 sin 2 x+2sinxcosx−3 cos 2 x=0

Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin 2 , т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx \sin x и cosx \cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos 2 x x — аналогично первому значению.

Докажем, что cosx=0 \cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное:

\[\begin\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left( \pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end\]

Мы доказали, что cosx=0 \cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos 2 x x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум:

sin 2 x cos 2 x +2 sinxcosx cos 2 x −3=0 t g 2 x+2tg x−3=0

Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:

(tg x+3) (tg x−1) =0 tg x=−3→x=−arctg 3+ π n,n∈Z tg x=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin& \left( tgx+3 \right)\left( tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k,k\in Z \\\end

Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу.

sin 3 x+ sin 2 xcosx=2 cos 3 x

Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2 cos 3 x 2x влево. Переписываем:

sin 3 x+ sin 2 xcosx−2 cos 3 x=0

Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, что cosx=0 \cos x=0 не является корнем:

Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию:

(±1) 3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0 ±1=0

Следовательно, cosx=0 \cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos 3 x x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:

sin 3 x cos 3 x + sin 2 xcosx cos 3 x −2=0 t g 3 x+t g 2 x−2=0

Введем новую переменную:

Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена.

Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t 3 будет больше по модулю, чем t 2 . А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t 2 — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел:

˜t=1\to \text< >1+1-2=0\to 0=0

Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1 t=1 является корнем.

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 не является корнем.

Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x 0 , представим в виде:

В нашем случае в роли x x выступает переменная t t, а в роли x 0 — корень, равный 1. Получим:

t 3 + t 2 −2=(t−1)⋅P (t)

Как найти многочлен P (t) P\left( t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее:

P (t)= t 3 + t 2 −2 t−1

t 3 + t 2 +0⋅t−2 t−1 = t 2 +2t+2

Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй:

Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант.

Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству:

Полезные советы

В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче:

1. всегда ли будет выполняться условие cosx≠0 \cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0 \cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
2. что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.

Ключевые моменты

Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение.

Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же.

Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры:

\sin x+15\text< cos >x=0 — тождество 1-й степени;

2\text< sin>2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени;

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени;

\sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители;

\sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x \sin 2x — второй степени (т.к. можно представить

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет.

Общая схема решения

Схема решения всегда одна и та же:

Предположим, что cosx=0 \cos x=0. Тогда sinx=±1 \sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx \sin x и cosx \cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0 5=0), переходим ко второму пункту;

Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x. — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tg x=t.