Дидактический материал по теме «Решение квадратных уравнений»

Урок рассчитан на 2 академических часа и является заключительным в рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений.

Учитель. Тема занятия «Решение квадратных уравнений». На этом занятии повторим и закрепим знание различных способов решения квадратных уравнений. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема является ступенькой в изучении более сложного материала математики средней школы, включая 11-й класс. В конце будет проведена самостоятельная работа. За неверно выполненное задание «плохая» оценка ставиться не будет и каждый ученик должен работать самостоятельно, выясняя неясные вопросы на уроке.

Рядом с доской висит таблица с алгоритмом решения квадратного уравнения.

Работа ведется фронтально. Учитель задает вопросы, ученики отвечают устно.

Учитель. Сформулируйте определение уравнения.

Ученик. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное.

Учитель. Решите уравнение (x + 1)(x – 4) = 0.

Ученик. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Множитель x+1 равен нулю при x = – 1 , а множитель x – 4 равен нулю при x = 4 . Корнями уравнения являются числа – 1 и 4.

Учитель по ходу ответа ученика делает на доске следующие записи:

(x + 1)(x – 4) = 0, x + 1 = 0 или x – 4 = 0, x = – 1, x = 4.

Ответ: – 1, 4.

Учитель. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

Ученик. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a № 0.

Учитель. Можно ли данное уравнение привести к виду квадратного?

Учитель. Приведите данное уравнение к виду квадратного.

Ученик проговаривает преобразование, учитель записывает на доске:

x 2 – 4x + x – 4 = 0, x 2 – 3x – 4 = 0.

Учитель. Назовите коэффициенты данного уравнения.

Ученик. Первый коэффициент 1, второй коэффициент – 3, свободный член – 4.

Учитель. Как называется уравнение такого вида?

Ученик. Уравнение данного вида называется приведенным квадратным уравнением.

Учитель. Назовите его номер согласно алгоритму решения квадратного уравнения.

Ученик. Данное уравнение соответствует уравнению 8-го алгоритма.

III.

Учитель. Запишите полученное уравнение в тетрадь и решите его (один ученик решает это уравнение на доске, приводит устно объяснение).

Предполагается, что в дальнейшем все решения у доски учащиеся комментируют, а остальные решают уравнения в тетради.

Запись на доске:

Ответ: – 1, 4.

Учитель. Так как устно мы решали одно и то же уравнение, то можно записать: x 2 – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4).

Таким образом, зная корни многочлена x 2 – 3x – 4 , мы разложили его на множители. Это только один из примеров применения корней квадратного уравнения (квадратного многочлена) в математике. Вам следует хорошо овладеть приемами нахождения корней квадратного уравнения для дальнейшего изучения курса математики.

Рассмотрим в таблице 1 уравнения 11, 18, 19 столбика 8. Выпишите эти уравнения в строку с учетом последующего решения. Как называются все эти уравнения?

Ученик. Эти уравнения называются неполными квадратными уравнениями.

Учитель. Найдите соответствующие номера этих уравнений в алгоритме и запишите их около уравнений. Решите эти уравнения.

(Учитель вызывает трех учеников решать уравнения без объяснения, просматривает решения, записанные учащимися в тетради, в случае необходимости помогает ученикам у доски.)

Запись на доске.

Ответ: 0; 0,5 .

6x 2 – 6 = 0, (3) 6(x 2 – 1) = 0, 6(x – 1)(x + 1) = 0, x – 1 = 0 или x + 1 = 0, x = 1, x = – 1.

Ответ: – 1, 1 .

Учитель. Всегда ли уравнение вида (3) имеет решение?

Ученик. Неполные квадратные уравнения вида (3) не всегда имеют решения.

Учитель. Приведите пример уравнения вида (3), которое не имеет решения, и сделайте в тетради соответствующие записи.

(Учитель вызывает к доске одного ученика.)

3 + x 2 = 0,

x 2 = – 3 < 0.

Ответ: ѕ или корней нет.

Учитель. Составьте полное квадратное уравнение, у которого один из корней равен 1.

Ученик. 3x 2 – 2x – 1 = 0 (один из возможных ответов).

Учитель (в случае затруднения или после ответа ученика). Каким свойством обладают коэффициенты данного уравнения?

Ученик. Сумма коэффициентов равна нулю, т. е. 3 – 2 – 1 = 0 .

Учитель. Решите это уравнение (вызывает к доске одного ученика).

Запись на доске:

Ответ: 1; 1/3

Учитель. К какому виду уравнений алгоритма относится данное уравнение? Запишите этот номер рядом с уравнением.

Ученик. Уравнение имеет вид уравнения (5) алгоритма.

Учитель. Решите уравнение 12 из столбца 8, определите и запишите его номер по алгоритму.

(Учитель вызывает одного ученика к доске.)

Запись на доске:

Ответ: – 1, 4 .

Учитель. По алгоритму решите уравнение 14 столбца 8 (один ученик решает на доске).

Запись на доске:

x 2 + 8x + 16 = 0, (7) (x + 4) 2 = 0, x + 4 = 0, x = – 4.

Ответ: – 4.

Учитель. Теперь решите уравнения 15–17 столбца 8, предварительно записав номер уравнения согласно алгоритму.

(Три ученика решают уравнения на доске без объяснения.)

Запись на доске:

9x 2 + 3x + 1 = 0, (10б) D = 9 – 4 * 9 < 0.

Ответ: Ж

Учитель (после окончания решений уравнения). Итак, мы решили 11 уравнений различных видов. Посмотрите внимательно и назовите номера уравнений алгоритма, которые нам не встретились.

Ученик. Мы не решали уравнения вида (10б), (9б), (1).

Учитель. Приведите пример уравнения вида (1) и назовите его корни. Сделайте соответствующие записи в тетради (вызывает одного ученика к доске).

Запись на доске.

Ответ: 0 .

Учитель. Для каких квадратных уравнений, не решая их, можно сказать, что они имеют два различных корня?

Ученик. Квадратные уравнения, у которых ac < 0 , имеют два различных корня.

Учитель. Приведите примеры таких уравнений из столбца 8 таблицы.

Ученик. 2x 2 + x – 21 = 0, (5); 2x 2 + x – 3 = 0, (10); x 2 – 3x – 4 = 0, (12) и др.

Учитель. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

Ученик. Квадратное уравнение не имеет корней при условии D < 0.

Учитель. Приведите пример такого уравнения.

Ученик. 3x 2 + x + 15 = 0, (10б); D = 1 – 3*15 < 0 .

Учитель. Подведем итоги работы. Решая квадратные уравнения, вы убедились в том, что, зная различные способы их решения, можно решать эти уравнения быстро, правильно и красиво. Также вы видели примеры использования корней квадратных уравнений в дальнейшем изучении курса математики.

Задание на дом. Решите первые десять уравнений столбца 4 таблицы.

Учитель. На этом уроке вы должны проверить свое умение решать квадратные уравнения и выполнить самостоятельную работу, которая будет проведена во второй половине урока. Работать будем следующим образом. Решаем первые десять уравнений строки 5. Учащиеся первого ряда решают уравнения 1, 2, 6, 10. Учащиеся второго ряда решают уравнения 3, 4, 8. Учащиеся третьего ряда решают уравнения 5, 7, 9. Рядом с каждым уравнением справа запишите его номер согласно алгоритму. Можно консультироваться друг с другом, обращаться за помощью к учителю. На доске записаны решения всех уравнений. Желательно, чтобы вы смотрели на доску после окончания работы или в случае необходимости подсказки.

Урок 2

Примеры работы учащихся с решениями

Примечание. Учитель вызывает учащихся решать уравнения на доске, располагая уравнения в нужном порядке (вид доски 7). В случае необходимости он помогает выбрать рациональное решение. После записи решения всех уравнений на доске подводится итог работы, при этом следует обратить внимание на правильность выбора способа решения квадратных уравнений, оценить работу учащихся на уроке. Учитель акцентирует внимание на характер наиболее распространенных ошибок.

Учитель. Мы решили около 20 уравнений, и вам предстоит решить еще 10 уравнений, выполняя самостоятельную работу. Что помогло так быстро решать квадратные уравнения? Какой изученный ранее материал был использован?

Ученики. Квадрат числа, вычислительные навыки, арифметический квадратный корень, тождества сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, теорема Виета и ее следствия и др.

Учитель. Какое применение корней квадратного уравнения вы узнали сегодня?

Ученики. Мы узнали еще один способ разложения многочлена на множители.

Учитель. Все сказанное выше еще раз подтверждает, что в математике всегда приходится опираться на предыдущие знания и ее нельзя изучать эпизодически, необходима систематическая работа.

Самостоятельная работа

1. 2x 2 + 3x – 5 = 0. 2. 3x 2 – 27 = 0. 3. x 2 + 2x = 0. 4. 21x 2 – 5x + 1 = 0. 5. 5a 2 – 26a – 24 = 0. 6. 3x 2 – 13x + 14 = 0. 7. 4x 2 – 28x + 49 = 0. 8. 3x 2 – 21x + 36 = 0. 9. 2x 2 – 3 – x = 0. 10. x 2 + 36 = 0. Вариант 2

1. 3x 2 + 5x – 2 = 0. 2. 9 – 6x + x 2 = 0. 3. 3x 2 – 24x + 45 = 0. 4. 2a 2 + 3a + 1 = 0. 5. 6 – 2x 2 = 0. 6. 2x2 – 5x + 3 = 0. 7. 25 – 100x 2 = 0. 8. 3x – x 2 = 0. 9. 12 + 3x 2 + 2x = 0. 10. 5x 2 – 26x + 5 = 0.

1. Тема урока: «Способы решения квадратных уравнений». 2. Эта тема очень важна для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем:

8-й класс – решение задач на составление квадратных уравнений; 9-й класс – разложение квадратного трехчлена на множители; квадратичная функция и ее график; неравенства второй степени с одной переменной; 10-й класс – тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции; 11-й класс – интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.

3. Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в выработке умений решать квадратные уравнения (из программы общеобразовательных учреждений).

4. Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

5. На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач: а) образовательные: обработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения; б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, обще-учебных умений, умений сравнивать и обобщать; в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

6. К решению данного учебного материала учащихся следует готовить, начиная с 5-го класса.

1) При изучении квадрата числа, натуральной степени числа учащиеся выполняли такие задания: найти значение выражения D = b 2 – 4ac, если a = 3, b = 7, c = 2. При изучении десятичных дробей, обыкновенных дробей, отрицательных чисел a, b, c меняются. 2) Знание квадратов от 1 до 20 нужно проверять на протяжении всех лет обучения математике. 3) К работе по схеме учащиеся готовятся, начиная с устного счета по цепочке, с указанием порядка действий с помощью стрелочек, по элементарным программам при работе с микрокалькулятором. При прохождении многих тем учащиеся учатся выполнять те или другие преобразования по алгоритму. 4) К работе с таблицами учащиеся также готовятся при прохождении различных тем, например, следующих: действия с отрицательными числами; при раскрытии скобок и преобразовании выражений и др. 5) К данному уроку у учащихся отработаны навыки решения линейных уравнений.

7. На уроке используются следующие таблицы:

1) настенная таблица – алгоритм решения квадратных уравнений; 2) индивидуальные таблицы 1–3; 3) таблица 4 (для учителя).

8. Основные этапы урока:

1) подготовительный этап – мотивация необходимости изучения учебного материала; 2) обучающий этап – определение вида квадратного уравнения, отбор рационального решения, работа с алгоритмом решения квадратного уравнения; 3) самоконтроль при подготовке к выполнению самостоятельной работы; 4) самостоятельная (проверочная) работа.

На первом этапе после определения уравнения рассматривается и решается уравнение (x + 1)(x – 4) = 0, при этом происходит повторение решения уравнений, в которых левая часть является произведением нескольких множителей, а правая часть равна нулю, и осуществляется переход к решению приведенного квадратного уравнения. Решив приведенное квадратное уравнение и сделав вывод о новом способе разложения многочлена на множители, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Такое задание является также проработкой изучения нового материала.

На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, формы заданий следует менять, например, вместо решения уравнений предложить учащимся самим составить уравнение, один из корней которого равен 1 (задание более высокого уровня).

Письменную работу учащихся нужно чередовать с устной работой, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения.

Третий этап заключается в работе, основанной на самоконтроле, проверке подготовки учащихся к самостоятельной работе. На этом этапе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на схему с разобранными решениями уравнений всех видов (табл. 2), и используют решения уравнений, записанных на доске. Таким образом, на уроке создаются условия для работы на различных уровнях сложности.

Самостоятельная (проверочная) работа рассчитана на 20 минут. Слабым учащимся разрешается использовать алгоритм решения квадратных уравнений.

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз. Чтобы у учащихся не возник страх получить за неправильное решение низкую оценку, учитель в начале урока предупреждает, что «плохую» оценку за ответ он не ставит, и каждый учащийся должен выполнить задачу по подготовке к самостоятельной работе (на уроке создаются психологически комфортные условия для работы).

Для осуществления поставленных на урок задач выбраны следующие методы и формы обучения.

• наглядный;
• практический;
• словесный;
• частично-поисковый;

• общеклассная;
• индивидуальная;
• парная, групповая.

·Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.