Презинтация по математику на тему "Двойной интеграл" (студентов ВУЗа)

ДИ в декартовых координатах Рассмотрим область R2 и проведем вертикальные прямые х=с (с=const) так, чтобы они пересекали область . Область R2 называется вертикально-правильной, если каждая вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х,у1) и Р2(х,у2). Вертикально-правильную область  можно задать системой неравенств : (1) где [a,b] — проекция области  на ось ОХ. Двойной интеграл по вертикально-правильной области , заданной системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного интеграла:

ДИ в декартовых координатах Область R2 называется горизонтально-правильной, если каждая горизонтальная прямая у=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х1,у) и Р2(х2,у). [c; d] - проекция  на ОУ. Область  можно задать системой неравенств : (2) Двойной интеграл по горизонтально-правильной области , заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле Заменим переменные x и y : Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель: а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле: определитель Якоби (якобиан) Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). 2/13

Замена переменных в двойном интеграле Вычислить двойной интеграл если область D ограничена линиями: xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x. D Сделаем замену переменных: 3/13

Найдем уравнения линий, ограничивающих область D* Замена переменных в двойном интеграле 4/13

Выразим переменные x и y через u и v. Найдем частные производные от получившихся функций: Замена переменных в двойном интеграле 5/13

Найдем якобиан преобразования: Замена переменных в двойном интеграле 6/13

D* Построим область D*. Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1): Вычислим двукратный интеграл: Замена переменных в двойном интеграле 7/13

Двойной интеграл в полярных координатах Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ. В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами: Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования равен: 8/13

Формула замены переменных принимает вид: Двойной интеграл в полярных координатах Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат: Лучами D* Кривыми Такая область называется правильной областью в полярной системе координат: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках. 9/13

Расставим пределы интегрирования: Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ. Двойной интеграл в полярных координатах D* 10/13

Замечания 1 2 Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) ; область D есть круг, кольцо или части таковых. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл в полярных координатах Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ. 3 11/13

Вычислить Перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл в полярных координатах Изобразим область D в декартовой системе координат. 3 D 12/13

3 D В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами: r = 3 Двойной интеграл в полярных координатах 3 0 0 2π 13/13

Отработка отдельных блоков схемы вычисления ДИ Пример № 1. Вычислить повторный интеграл Решение Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную х как параметр (т.е. const): 2. Вычислим внешний интеграл

Пример № 2. Вычислить повторный интеграл Решение 1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную у как параметр (т.е. const): 2. Вычислим внешний интеграл Вычисление можно записывать короче:

Задания по теме 1. Вычислить двукратные (повторные) интегралы: Ответы: 26; -11,2; ; . 2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:

3. Вычислить двойной интеграл , где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3. Ответ: 9. 4. Вычислить двойной интеграл , если область D задана неравенствами ; ух; 0х2. Ответ: . 5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями a) ; y=0; y= ; б) ; y=0; y=x; x+y=/2; в) ; x=y2; y=x2. Ответы: a5 ; 1/2; -1/504.

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

• Сейчас обучается 925 человек из 81 региона

Курс профессиональной переподготовки

• Сейчас обучается 678 человек из 74 регионов

Курс повышения квалификации

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 55 человек из 27 регионов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

5 625 486 материалов в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

• Алгебра
• Геометрия
• 9 класс
• Конспекты

• 08.07.2016
• 9119
• 93

• Математика
• 6 класс
• Конспекты

• 08.07.2016
• 1668
• 68

• Алгебра
• Геометрия
• 7 класс
• Рабочие программы

• 08.07.2016
• 874
• 42

• Алгебра
• Геометрия
• 9 класс
• Презентации

• 08.07.2016
• 2666
• 9

• Алгебра
• Геометрия
• 9 класс
• Тесты

• 08.07.2016
• 19647
• 9

• Математика
• 5 класс
• Рабочие программы

• 08.07.2016
• 353
• 0

• Математика
• Статьи

• 08.07.2016
• 370
• 0

• Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
• Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

• 08.07.2016 3938
• PPTX 1.2 мбайт
• 42 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кошназаров Расул Атабекович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

• На сайте: 5 лет и 8 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 11140
• Всего материалов: 5

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов

Дистанционные курсы для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьникам, прибывшим из ДНР и ЛНР, выдадут аттестаты по итогам текущей успеваемости

Время чтения: 1 минута

Финал конкурса «Лучшая инклюзивная школа России» пройдет в октябре в Москве

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки запускает Ресурсный центр для развития карьеры студентов

Время чтения: 2 минуты

III Международный «Инфофорум» «Буллинг в школе: как распознать и устранить»

Время чтения: 3 минуты

Минобрнауки создаст летние школы для педагогов и студентов-историков

Время чтения: 1 минута

В России появятся колледжи креативных индустрий

Время чтения: 1 минута

• Курсы «Инфоурок»
• Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.