Индуктивность в цепи переменного тока

1 Лабораторная работа 7 Индуктивность в цепи переменного тока Цель работы: исследование зависимости сопротивления соленоида от частоты синусоидального тока, определение индуктивности соленоида, а также взаимной индуктивности коаксиальных соленоида и короткой катушки. Приборы и оборудование: соленоид и короткая катушка на коммутационной плате, генератор синусоидального напряжения, два цифровых вольтметра. Теоретическая часть Рассмотрим тонкий замкнутый провод, по которому течет ток i. По закону Био - Савара созданное этим током магнитное поле B r в каждой точке пространства пропорционально i. Поэтому и поток Φ вектора B r через замкнутый контур, образованный проводом, пропорционален току i : Ф = Li. Коэффициент пропорциональности L зависит от геометрических размеров контура и называется его индуктивностью или самоиндукцией. Для увеличения индуктивности в электротехнике и радиотехнике широко применяются проволочные катушки с достаточно плотной винтовой намоткой - соленоиды (рис.1). Если шаг винтовой линии мал по сравнению с радиусом витка r, а длина соленоида значительно превышает этот радиус, то магнитное поле внутри такого длинного соленоида ( >> r ) практически однородно и направлено вдоль его оси (рис.1,а). Величина магнитной индукции может быть найдена, например, при помощи теоремы о циркуляции вектора B r. N1 B = μ 0 i, 63

2 а б Рис.1. Линии индукции магнитного поля бесконечно длинного соленоида (а) и соленоида конечной длины (б) после чего нетрудно вычислить магнитный поток через витки соленоида и его индуктивность Ф = SBN 1 1 μ0n = S i где μ 0 = 4π Ф μ N1 S L = = 0, (1) i Гн/м - магнитная постоянная; N 1 - число витков; S = πr - площадь каждого витка. Заметим, что соленоид с разомкнутыми выводами не представляет замкнутого контура, но такой контур образуется при включении соленоида в цепь. Поскольку магнитный поток через витки соленоида обычно значительно превышает поток через остальную часть замкнутого проводящего контура, то можно считать, что индуктивность контура определяется индуктивностью включенного в него соленоида.

3 Строго говоря, индукция магнитного поля в соленоиде не является постоянной, а уменьшается примерно в два раза при приближении к его торцам (см. рис.1,б и лабораторную работу 3). Поэтому формула (1) дает для индуктивности несколько завышенное значение. Приведем без вывода формулу для расчета индуктивности длинного соленоида с учетом такого краевого эффекта: μ L 0 N 1 S 8 1 3π r. () Рассмотрим теперь случай, когда через соленоид, индуктивность которого L, протекает переменный ток i = I cos ωt частоты ω и амплитуды I. По закону электромагнитной индукции в цепи возникает ЭДС самоиндукции dф di E = = L = ωli sin ωt. dt dt Напряжение на соленоиде u определим по закону Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС: u = ir E. Сопротивление соленоида R во многих случаях целесообразно рассматривать в качестве отдельного элемента цепи. Иными словами, реальный соленоид можно представить в виде последовательно соединенных идеального соленоида индуктивностью L, который не имеет сопротивления, и резистора сопротивлением R, который не обладает индуктивностью. Напряжение на индуктивности (т.е. на идеальном соленоиде) di u = = L = ωli sin ωt = U cos( ωt + π / ) dt E, где U = ωli - амплитуда колебаний напряжения u. Следовательно, эффективные значения напряжения на индуктивности U L = U / и тока через нее I = I связаны соотношением эфф / 65

4 U L = ωl I эфф. (3) Это выражение экспериментально проверяется в упражнении 1. Заметим, что величину X L U = I L эфф = ωl называют индуктивным сопротивлением, а сопротивление R - активным или омическим сопротивлением. Индуктивное сопротивление увеличивается с ростом частоты и при достаточно высоких частотах ( ω L >> R ) значительно превышает активное сопротивление R. В этом случае формула (3) применима и для реального соленоида, обладающего активным сопротивлением. Рассмотрим теперь случай, когда вблизи соленоида расположена проволочная катушка. При протекании через соленоид тока i возникает магнитное поле B r, которое создает магнитный поток Ф 1 через витки катушки. Из закона Био - Савара следует, что поток Ф 1 пропорционален току i: Ф = L 1 i. 1 Коэффициент пропорциональности L 1 зависит от геометрических размеров соленоида, катушки, их взаимного расположения и называется взаимной индуктивностью контуров - соленоида и катушки. Если ток i в соленоиде переменный i = I cos ωt, то в катушке возникает ЭДС dф1 di = = L1 = ωl1i sin ωt dt dt E. Напряжение на выводах разомкнутой катушки u = E, а эффективное значение этого напряжения U L = ωl. (4) 1I эфф В упражнении выражение (4) используется для экспериментального определения взаимной индуктивности. Если катушка плотно "надета" на длинный соленоид, то взаимную индуктивность L 1 можно рассчитать теоретически. В этом случае 66

5 μ0n1ns Ф 1 = SBN = i и, следовательно, μ0n1ns L1 =, (5) где N - число витков в катушке. Описание эксперимента Электрическая схема установки показана на рис.. Переменный ток, возбуждаемый генератором Г, протекает через резистор R, соленоид L и резистор R 0. Для определения эффективного значения I эфф этого тока используется вольтметр V R. С его помощью измеряется эффективное значение напряжения U R на резисторе R, а затем по закону Ома рассчитывается I эфф : Iэфф = U R / R. Резисторы, специально включаемые в цепь для определения тока, часто называют токовыми сопротивлениями. Резистор R 0 предназначен для ограничения величины протекающего в цепи тока. Вольтметр V L измеряет эффективное значение напряжения на соленоиде, когда переключатель находится в положении " U L ". Если же " U L " " U L " V L L V R R R 0 Г Рис.. Электрическая схема установки 67

6 этот переключатель находится в положении " U L", то вольтметр V L измеряет напряжение на короткой катушке с несколько большим диаметром, чем у соленоида, которая "надета" на соленоид. Выполнение работы Упражнение 1. Определение индуктивности соленоида. Переключатель установите в положение " U L". Частоту ν = ω/ π переменного напряжения, вырабатываемого генератором, установите равной 0 кгц. Выходное напряжение генератора установите близким к максимально возможному. При помощи вольтметров V L и V R измерьте эффективные значения напряжения на соленоиде U L и токовом сопротивлении U R. Воспользовавшись формулой U R U L = ωli эфф = πνli эфф = πνl, R рассчитайте индуктивность L соленоида. По формуле () рассчитайте теоретическое значение индуктивности L и сравните его с найденным экспериментально. При расчете погрешностей воспользуйтесь паспортными данными измерительных приборов, учтите также погрешности величин R, и r, которые указаны на измерительном стенде. Изменяя частоту ν переменного напряжения в пределах от до 0 кгц, измерьте зависимость U L / Iэфф от частоты ν. Постройте график этой зависимости и по угловому коэффициенту полученной прямой определите индуктивность L. Упражнение. Определение взаимной индуктивности. Для двух-трех значений частоты ν в диапазоне (10 0) кгц измерьте напряжения U L (переключатель в положении "U L ") и соответствующие значения U R При помощи (4) определите взаимную индуктивность L 1. Рассчитайте также L 1 теоретически по формуле (5). 68

7 Подготовка к работе 1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы: переменный ток; амплитуда; частота; циклическая частота; период; фаза; эффективные значения переменного тока и напряжения; вектор магнитной индукции; закон Био - Савара; магнитный поток; закон электромагнитной индукции; самоиндукция; взаимная индукция; индуктивное сопротивление.. Приведите в рабочей тетради подробный вывод всех соотношений теоретической части работы. 3. Изучите экспериментальную часть работы. Приведите в рабочей тетради электрические схемы измерений в упражнениях 1 и. 4. При подготовке к работе рекомендуем изучить Приложения и 4 учебно-методического пособия. Расчетное задание. 1. Рассчитайте по формуле () индуктивность соленоида, а также поправку 8r δl = ( L L ) / L =, 3π обусловленную учетом краевых эффектов. В расчетах примите N1 = 700 витков, r = ( 10 + N) мм, = ( K) см, где N - номер бригады; K - номер (по алфавиту) студента в бригаде ( K = 1, или 3).. Рассчитайте индуктивное сопротивление такого соленоида при частоте ν = 0 кгц. Постройте график зависимости индуктивного сопротивления соленоида от частоты ν в диапазоне ( 0) кгц. Литература 1. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. - М.-СПб.: Физматлит, ; Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. - М.: Астрель, ; 6.11; 6.1; 8.1; 8.; 8.5; Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, ,