Задачи на перевод чисел из одной системы счисления в другую.

1 Задачи на перевод чисел из одной системы счисления в другую. Система счисления это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая 7 единиц, а третья 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения ,7 = = 757,7. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 + an-2 qn a1 q1 + a0 q0 + a-1 q a-m q-m, где ai цифры системы счисления; n и m число целых и дробных разрядов, соответственно. Например: Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления? В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. Продвижением цифры называют замену еѐ следующей по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить еѐ на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить еѐ на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену еѐ на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 замену еѐ на 0. Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]: Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неѐ. Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

2 в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001; в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100; в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14; в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером? Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1. 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1. 9, а для следующих чисел от десяти до пятнадцати в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 10-я 2-я 8-я 16-я я 2-я 8-я 16-я A B C D E F Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры двоичной? Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной; представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

3 возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления? Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). Например: Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления? Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Ответ: 7510 = = 1138 = 4B16.

4 Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления? Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2. Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную? Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1. a0, a-1 a-2. a-m)q сводится к вычислению значения многочлена x10 = an qn + an-1 qn a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q a-m q-m средствами десятичной арифметики. Примеpы:

5 ЗАДАНИЯ: 1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления. 2. Какие целые числа следуют за числами: а) 12; е) 18; п) F16; б) 1012; ж) 78; м) 1F16; в) 1112; з) 378; н) FF16; г) 11112; и) 1778; о) 9AF916; д) ; к) 77778; п) CDEF16? 3. Какие целые числа предшествуют числам: а) 102; е) 108; л) 1016; б) 10102; ж) 208; м)2016; в) 10002; з) 1008; н) 10016; г) ; и) 1108; о) A1016; д) ; к) 10008; п) ? 4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число? 5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами: а) в двоичной системе; б) в восьмеричной системе; в) в шестнадцатеричной системе? 6. В какой системе счисления = 100? Решение. Пусть x искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 x2 + 0 x1 + 0 x0, 21x = 2 x1 + 1 x0, 24x = 2 x1 + 4 x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2-4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5. Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления. 7. В какой системе счисления справедливо следующее: а) = 100; б) = 110? 8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы. 9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) ; е) 5178; л) 1F16; б) ; ж) 10108; м) ABC16; в) ; з) 12348; н) ; г) 0, ; и) 0,348; о) 0,А416; д) ,112; к) 123,418; п) 1DE,C Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206, Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) ,01112; г) ,112; б) , ; д) 10111, ; в) , ; е) , Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D Выпишите целые числа: а) от до в двоичной системе;

6 б) от 2023 до в троичной системе; в) от 148 до 208 в восьмеричной системе; г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.