Лабораторная работа №1.2 Подробная справка

Информация в памяти ЭВМ записывается в форме цифрового двоичного кода. С этой целью ЭВМ содержит большое количество ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное, записанное) для хранения двоичной информации. Ячейка – это часть памяти, вмещающая в себя информацию, доступную для обработки отдельной командой процессора. Наибольшую последовательность бит, которую компьютер может обрабатывать как единое целое (содержимое ячейки памяти), называют машинным словом.

Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (1 байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т.д. Адрес машинного слова в памяти компьютера равен адресу младшего байта, входящего в это слово. Машинное слово, состоящее из 16 бит (2-х байт) представлено на рис.1. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. Самый левый является старшим разрядом (на рисунке с номером 15), самый правый – младшим (на рисунке с номером 0).

Рис. 1. Бит, байт, слово

В вычислительной технике используются два формата представления двоичных чисел:

- с фиксированной запятой (точкой);

- с плавающей запятой (точкой).

Формат с фиксированной запятой применяется к целым числам, формат с плавающей запятой - к вещественным (действительным) числам.

1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения.

Так в n-разрядной ячейке может храниться 2 n различных значений целых чисел. Так в 8-разрядной ячейке может храниться 2 8 =256 различных значений, в 16-разрядной – 2 16 =65536 различных значений.

Целые числа могут представляться в компьютере без знака и со знаком.

Целые числа без знака. Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. Максимальное значение целого числа без знака (положительного числа) достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно . Для 8-разрядной ячейки максимальное значение целого положительного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы и равно . Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Следовательно, в 8-разрядной ячейке диапазон изменения целых чисел без знака: от 0 до 255. В 16-разрядной ячейке - от 0 до 65535 (всего 65536 значений).

Так, число 111000012 будет храниться в 8-разрядной ячейке памяти следующим образом:

В 16-разрядном представлении число 200610=111110101102 будет храниться следующим образом:

Итак, чтобы получить внутреннее представление целого числа без знака А, хранящегося в n-разрядном машинном слове, необходимо:

1) перевести число А в двоичную систему счисления;

2) полученный результат дополнить слева незначащими нулями до n разрядов.

Целые числа со знаком: прямой, обратный и дополнительный коды. Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта. Для хранения целых чисел со знаком старший (левый) разряд в машинном слове отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается ноль, если число отрицательное – единица). Ровно половина из всех 2 n чисел будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше.

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно -1. Минимальное отрицательное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно - .

Диапазоны значений целых чисел со знаком:

 в 8-разрядной ячейке: от -128 до 127;

 в 16-разрядной ячейке: от -32 768 до 32 767;

 в 32-разрядной ячейке: от -2 147 483 648 до 2 147 483 647.

Для представления отрицательного числа используется дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Прямой код целого положительного числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют необходимым количеством нулей в соответствии с разрядностью машинного слова. Например, прямой код числа 3710=1001012 в 16-разрядной ячейке будет иметь вид 0000000000100101.

Для записи внутреннего представления целого число со знаком (-А) необходимо:

1) модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа, для этого значения всех бит инвертировать – все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу. Получим дополнительный код целого числа со знаком.

Например, внутреннее представление целого отрицательного числа -1607 в 16-разрядной ячейке запишется следующим образом: 1111 1001 1011 1001. Так как:

б) прямой код в 16-разрядной ячейке:

0000 0110 0100 0111

1111 1001 1011 1000

3) дополнительный код (результат прибавления 1):

1111 1001 1011 1001 – это внутренне двоичное представление числа (-1607).

3.2. Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х10 3 . Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976х10 1 = 1,3976х10 2 = 0,013976х10 4 = 13976 х10 -2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10 3 .

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.

Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие: