Алгебра и начала анализа. Урок по теме "Однородные тригонометрические уравнения" (10-й класс)
На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.
II. Актуализация опорных знаний..
Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.
Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.
Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.
Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”
(Оценивается работа группы независимым экспертом)
III. Мотивация обучения.
Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.
Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.
IV. Усвоение новых знаний
Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.
Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.
Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.
Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.
Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.
Пример: sinx + cosx = 0
Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим
Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:
- Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0
Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.
Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
Возвращаемся к замене
Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки
Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0
решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:
- Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
- Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
- Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.
Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом
Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.
V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений
Открываем задачники стр. 53
1-я и 2-я группа решают № 361 в)
3-я и 4-я группа решают № 363 в)
Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.
Решение примеров из задачника
№ 361в) sinx – 3cosx = 0 делим обе части уравнения на cosx 0, получаем
№ 363в) sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0 разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 x + tgx – 2 = 0 решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение а 2 + а – 2 = 0 Д = 9 а1 = 1 а2 = –2 возвращаемся к замене
VI. Самостоятельная работа
- 2 cosx – 2 = 0
- tg2x +1 = 0
- 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
- 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0
По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.
Потом сдают независимому эксперту.
Решение самостоятельной работы
VII. Подведение итогов урока
- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
- Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.
VIII. Задание на дом
§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно
Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.
- Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
- Единица измерения углов? (Радиан)
- Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
- Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
- Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
- Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
- Как называется верное равенство? (Тождество)
- Равенство с переменной? (Уравнение)
- Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
- Множество корней уравнения? (Решение)
Рейтинговая система оценки знаний
- Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
- Презентация – 1балл
- Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
- Решение уравнений 1 балл
- Самостоятельная работа – 4 балла
“5” – 22 балла и более“4” – 18 – 21 балл“3” – 12 – 17 баллов