О группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара и неподвижных на сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лукацкий Александр Михайлович

Предлагается конструкция построения диффеоморфизмов , сохраняющих элемент объема шара и неподвижных на сфере . Исследуется поведение решений уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости в шаре c начальными условиями нулевыми на сфере .

Текст научной работы на тему «О группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара и неподвижных на сфере»

Научный Вестник МГТУ ГА

Civil Avition High TECHNOLOGIES

Том 19, № 02, 2016

Vol. 19, № 02, 2016

О ГРУППЕ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ, СОХРАНЯЮЩИХ ОБЪЕМ ШАРА И НЕПОДВИЖНЫХ НА СФЕРЕ

Предлагается конструкция построения диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема шара и неподвижных на сфере. Исследуется поведение решений уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости в шаре c начальными условиями - нулевыми на сфере.

Ключевые слова: диффеоморфизм, шар, сфера, бездивергентное векторное поле, несжимаемая жидкость, уравнения Эйлера, уравнения Навье - Стокса.

Пусть дан n -мерный шар Bn с границей n -1 -мерной сферой Sn-1.

В ряде исследований [1] возникают диффеоморфизмы, сохраняющие элемент объема шара Bn и тождественные на границе шара (сфере Sn-1).

Ниже предлагается конструкция, позволяющая строить достаточно широкий класс таких диффеоморфизмов. Результаты применяются к исследованию течений несжимаемой жидкости, где область течения является многообразия с краем (для случая шара). Здесь исследуется поведение решения уравнений Эйлера и Навье - Стокса в случае, когда начальное поле скоростей жидкости было нулевым на крае многообразия (в рассмотренном случае - сфере).

1. КОНСТРУКЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ СОХРАНЯЮЩИХ ОБЪЕМ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ, НЕПОДВИЖНЫХ НА ШАРЕ

Пусть сфера Sn-1 задана в Rn уравнением

Рассмотрим алгебру SV(Sn-1) бездивергентных векторных полей на сфере Sn-1. На сфере Sn-1 естественно действует ортогональная группа SO(n), a SV(Sn-1) является SO(n)- модулем.

Предложение 1. Бездивергентное векторное поле v на сфере Sn-1 продолжается до бездивергентного v поля на шаре B , удовлетворяющего условию

Доказательство. В [2, с. 163] доказано, что SV(Sn-1) как топологический SO(n)- модуль порождается элементами xns (. -xj. xi. ) , где n > 1,i, j,s - различны. Свойство (1) является

SO(n) инвариантным и выполняется для образующих.

С точки зрения гидродинамических приложений предпочтительнее разложить векторное поле v на сфере Sn-1 на составляющие в неприводимых SO(n)-модулях. Из [3] это

/ // / // SO(n)-модули со старшими весами Мn + k\n (М4 + kA4,М4 + £А4), где Mn (М4 ,М4 ) - стар-

Vol. 19, № 02, 2016

Civil Avition High TECHNOLOGIES

шие веса присоединенного представления £0(п) (£0(4)), Лп - старший вес представления £0(п) в Яп. Тогда координаты векторного поля V можно выбрать гармоническими многочленами (Лv = 0 в В", где А - оператор Лапласа на векторных полях).

Построим теперь алгебру Ли на шаре, образованную векторными полями на шаре В" вида

и=/(г 2)Я vе £К(£п-1), / е С" ([0,1]), / (1) = 0. (2)

Из (1) векторные поля вида (2) бездивергентные, непосредственно проверяется, что они образуют алгебру Ли, обозначим ее ¡(Вп), а порожденную их потоками группу диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара, через I(Вп).

Для ие 1(Вп), ^еI(Вп) имеем и£"-1 = 0, = Ы.

Скобка Ли в 1(Вп) имеет следующий вид. Пусть и=/(гw = g(г2) . Имеем

[и, w] = / (г2) g (г2)^,t ]. (3)

При п = 2 имеем £¥(£п-1) = £¥(£= = Я1. Отсюда

Для дальнейшего полезно вычислить действие оператора Лапласа на векторное поле вида (2), когда координатами векторного поля V являются однородные гармонические многочлены степени к. Имеем

А (/ (г2 >) = (4 / "г2 + 2( п + 2 к) / >. (4)

А(г2) к = 2к (п + 2к - 2)(г2) к -1.

2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Нас будут интересовать течения несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой) внутри шара, неподвижные на его границе в отсутствие внешних сил. В общем виде они описываются уравнениями Навье - Стокса для случая области с границей (см. Р. Темам [4, с. 224-225]). Применительно к шару система приобретает вид

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 19, № 02, 2016

Civil Avition High TECHNOLOGIES Vol. 19, № 02, 2016

Здесь v - вязкость жидкости, соответственно, при V = 0 получаем уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости.

Конфигурационным пространством для этой задачи является группа диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара, неподвижных на границе (сфере). Алгеброй Ли этой группы будет алгебра бездивергентных векторных полей в шаре, обращающихся в ноль на границе.

Рассмотрим двумерный шар (дискB2) с границей окружность ( SВозьмем w е i(B2) .

--f (r 2)(y,-x)|, f (1) = 0. (6)

Имеем w(w) = f(г2)2(-х,-у).

Введем F(h) = | f (т)2dт.

Непосредственно проверяется, что w(w) = У(-1Г(г2)), т.е. это градиентное поле, для

начальных условий вида (6).

Используя (4), получаем

Предложение 2. Для векторных полей вида (6) уравнение Навье - Стокса приводится к виду

Пусть /(/) = ^ а; - многочлен степени т с коэффициентами, зависящими от време-

ни. Тогда уравнение (7) приводится к виду

Такую систему можно решать последовательным интегрированием.

am-1 (t)=am-1 (0) + 4vm(m + 1)am (0),

Пример 1. Возьмем и = (г2 -1)(.у, - х) .

Тогда имеем /(/) = / -1. Система (8) приводится к виду

-a0 = 8va,, a0(0) = -1, _

Vol. 19, № 02, 2016

Решением (9) будет

Civil Avition High TECHNOLOGIES

Тогда для уравнения Навье - Стокса получаем решение:

ut = ((r2 -1) + 8vt)(y, - x).

Отсюда видно, что, хотя начальные условия удовлетворяют постановке (5), для решения на границе имеем и(V) £1 ф 0, t > 0, т.е. полученное решение (8) уже не является решением

уравнений Навье - Стокса в постановке (5).

Перейдем к трехмерной гидродинамике.

Пример 2. Пусть п = 3, В3 - шар с границей - двумерной сферой £2. Возьмем

Имеем и(и) = (г2 -1)2(-х, - у, 0) .

Это векторное поле уже не является градиентным и представляется в виде

и (и) =- Ур + w . Здесь ёгу w = 0, а для давления р получаем уравнение

hp =-div(u(u)) = 2(r2 -1)2 + 4(r2 - 1)(x2 + y2).

Используя (4) для трехмерного случая, имеем:

A(r2)2 = 20r2, A (r2)3 = 42(r2)2, A(r 2( x2 + y2)) = 14( x2 + y2) + 4r2, A((r 2)2(x2 + y2))=36( x2 + y 2)r2 + 4(r2)2.

Отсюда получаем решение (12):

Из этого получаем:

p = (i(r2)2 -2r2 +—)(x2 + y2) + —(r2)3 -i(r2)2 +11 r2

Ур = Ыг2)2 - - г2 +—)(х, у, 0) + (х2 + у 2)(- г2 - -)(х, у, 2) + (-(г2)2 - - г2 + —)(х, у, Г). (14) 9721 97 97 63

Член, отвечающий за вязкость, дает

Au = 10( y, - x,0) 129

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 19, № 02, 2016

Civil Avition High TECHNOLOGIES Vol. 19, № 02, 2016

Отсюда в начальный момент времени получаем

+(-2(r2)2 + -r2 - —)(X,y, z) + 10v(y, - x, 0). 9 7 63

To же самое на границе шара дает:

^=0 S2 = X, y,0)+^(x2 + y 2)( X, y, z) + 10v( y, - x, 0) (16)

Легко проверить, что в правой части (16) при любом значении вязкости V (в том

числе при нулевой вязкости) получается векторное поле на сфере £2 с ненулевой ¿-компонентой. Отсюда следует, что, хотя начальные условия удовлетворяют постановке (5), для решения будет нарушаться выполнение граничного условия и£2 = 0, т.е. получаемое решение уже не будет решением уравнений Навье - Стокса (5). Это справедливо также для случая идеальной жидкости, т.е. когда вязкость нулевая (> = 0). Здесь иллюстрируется отличие трехмерной гидродинамики от двумерной. В двумерном случае векторное поле и = (г2 - 1)(у, - х) является стационарным течением идеальной несжимаемой жидкости, а в трехмерном и = (г2 -1)(у, - х, 0) - нет.

Предложена конструкция построения диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара, неподвижных на границе шара. Исследованы решения гидродинамики несжимаемой жидкости в шаре. Для двумерной гидродинамики построен пример, когда начальные условия являются нулевыми на границе шара, а эволюционирующее во времени поле скоростей решения уравнений Навье - Стокса становится ненулевым на границе. Для трехмерной гидродинамики аналогичный пример построен как для уравнений Навье - Стокса, так и для уравнений Эйлера.

1. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. - М.: МЦНМО, 2007. - 392 с.

2. Лукацкий A.M. О структуре алгебр Ли сферических векторных полей и группах диффеоморфизмов Sn и RPn // Сибирский матем. журн. - 1977. - Т. 28, № 1. - С. 161-173.

3. Лукацкий A.M. Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики. - Ярославль: ЯрГУ им. П.Г. Демидова, 2010.

4. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

Vol. 19, № 02, 2016

Civil Avition High TECHNOLOGIES

ON THE GROUP OF DIFFEOMORPHISMS WHICH PRESERVE THE BALL VOLUME AND ARE IDENTICAL ON SPHERE

Key words: diffeomorphism, ball, sphere, divergence-free vector field, incompressible fluid, Euler equations, Navier-Stokes equations.

1. Arnold V.I., Hesin B.A. Topological methods in gydrodynamics. M .: MCNMO. 2007. 392 p.

2. Lukatskii A.M. On the structure of spherical Lie vector fields and groups of diffeomorphisms and. Siberian Math. Zh. 1977. Vol. 28. No. 1. Pp. 161-173.

3. Lukatskii A.M. Structural-geometric properties of the infinite dimensional Lie groups in the use of the equations of mathematical physics. Yaroslavl: P.G. Demidov Yaroslavl State University. 2010.

4. Temam R. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North Holland Publ. Comp. 1979.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

О группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара и неподвижных на сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лукацкий Александр Михайлович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лукацкий Александр Михайлович

Текст научной работы на тему «О группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем шара и неподвижных на сфере»