Удивительные приемы в математике
Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.
У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.
Складывать и вычитать, делить и умножать в уме двузначные и трехзначные числа очень просто, если знаем прием. Описанные ниже способы не отличаются от вычисления столбиком, зато гораздо понятнее.
80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (отделение разряда единиц при вычитании)
Комбинации разных способов
79 - 50 (прибавление к числам единицы)
70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (отделение разряда единиц)
80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)
80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147
Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.
300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)
287 (+1) - 29 (+1) (прибавление единицы к уменьшаемому и к вычитаемому)
419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (прибавление тройки к уменьшаемому и к вычитаемому).
Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком".
Пусть требуется перемножить 24 32.Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:
Теперь последовательно производим следующие действия:
1) 4 2=8-это последняя цифра результата;
2) 2 2=4; 4 3=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата; единицу запоминаем;
3) 2 3=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7-это первая цифра результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений".удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;
88 96=88 (100-4)=88 100-88 4
4 96= 4 (88+8)= 4 8+88 4
Таблица умножения на "9".
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на "5".
Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225
все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число. Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.
Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.
Видите, пальцы левой руки образуют углы:
мизинец-0 (нулевой палец)
безымянный-30 (первый палец)
средний-45 (второй палец)
указательный- 60(третий палец)
большой-90 (четвёртый палец)
Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.
Способ умножения чисел близких к 100
Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно
Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо
4) 93 - 5 = 88 или (95 - 7 = 88)
Получим 8835
Пример 2: 98 * 92
Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:
Множители: 92 и 96.
Дополнения: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение "дополнений":8?4=32.Получаем результат 8832.
Еще пример - требуется перемножить 78 на 77:
Множители:78 и 77.
Дополнения: 22 и 23.
Числа 1, 5 и 6
Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.
46 = 2116; 46 = 97 336
Извлечение из под корня
1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это число по два разряда справа налево так: = 568
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Далее процесс повторяется.
Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что
10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Докажем это: 100 + 121 +144 = 169 + 196
Сложение чисел, близких друг к другу по величине.
В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;