Динамический метод определения теплофизических свойств жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Директор Леонид Бенцианович, Зайченко Виктор Михайлович, Качалов Владимир Викторович, Майков Игорь Леонидович

В статье представлена экспериментальная методика определения коэффициентов поверхностного натяжения и вязкости по характеристикам осцилляций большой капли жидкости при ее падении из капилляра на плоскую поверхность. Для автоматизированной пакетной обработки изображений капли разработан специальный программный комплекс. Приведены результаты тестовых экспериментов.

Текст научной работы на тему «Динамический метод определения теплофизических свойств жидкости»

ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТИ

Л.Б. Директор, В.М. Зайченко, В.В. Качалов, И.Л. Майков (Объединенный институт высоких температур РАН)

Динамические методы определения теплофизических свойств жидкости основаны на измерении характеристик затухающих колебаний капли жидкости (периода и коэффициента затухания колебаний), возникших в результате начального внешнего воздействия. К числу достоинств таких методов относится возможность определения коэффициентов поверхностного натяжения и динамической вязкости жидкости.

При определении свойств электропроводных жидкостей (расплавов металлов) измерения проводятся в электростатических ле-витационных камерах, в которых «подвешенная» в электромагнитном поле капля в результате начального возмущения совершает затухающие колебания [1]. Для неэлектропроводных жидкостей капля фиксируется в аэродинамических левитационных камерах [2] или колебания капли инициируются на выходе из капилляра, и возмущение задается с помощью генератора и пьезоэлемента, размещенного на капилляре [3].

В этих методах при обработке осциллограмм колебаний капли, как правило, используется линейное решение уравнения колебаний в приближении капиллярных волн (пренебрежимо малое влияние гравитации) - формулы Рэлея для определения капиллярной постоянной [4] и соотношения Кельвина для определения коэффициента вязкости [5]. Это накладывает определенные ограничения на условия проведения измерений: необходимо обеспечить малый размер капли и незначительное начальное возмущение (амплитуда колебаний не должна превышать 1 % радиуса капли), что, в свою очередь, требует использования прецизионной аппаратуры для регистрации изображений капли.

Развитие теории колебаний жидкости и численных методов позволяет получить численные решения для затухающих нелинейных колебаний большой капли жидкости с учетом влияния

гравитационных сил [6-8], что при условии разработки эффективного численного алгоритма дает возможность существенно упростить технику измерений и создать экспресс-метод комплексного определения теплофизических свойств жидкости.

В работе предлагается экспериментальная методика определения коэффициентов поверхностного натяжения и вязкости на основе использования характеристик осцилляций большой капли жидкости при ее падении из капилляра на плоскую поверхность (рис. 1).

Рис. 1. Схема эксперимента: 1 - микрометрический винт; 2 - поршень; 3 - исследуемая жидкость; 4 - капилляр; 5 - подложка

При такой схеме эксперимента за один цикл измерений можно реализовать несколько способов определения коэффициентов поверхностного натяжения и вязкости: метод веса капли, динамический метод колебаний капли в невесомости (капля до соприкосновения с подложкой успевает совершить два-три полных колебания), динамический метод колебаний капли на плоской поверхности и классический метод лежащей капли.

Экспериментальная установка (рис. 2) состоит из измерительной ячейки с дозатором жидкости и сменными капиллярами, системы подсветки капли и скоростной цифровой видеокамеры. Фиксируется процесс отрыва капли от капилляра, ее падение и затухающие колебания формы капли на плоской поверхности. В зависимости от размера капилляра радиус сферы, эквивалентной объему капли, составляет 1,5-2,5 мм, характерная частота колебаний 50-70 Гц. Очевидно, что при таких частотах для построения адекватной осциллограммы колебаний необходимо иметь 15-20 точек за один период колебаний, что соответствует частоте съемки 1000 кадров/с. В экспериментах использовались цифровая камера Phantom 1540, которая при частоте 1000 кадров/с обеспечивает разрешение 1024x1024 пикселей, и цифровая камера VS-FAST, которая при той же частоте съемки обеспечивает разрешение 1024x500 пикселей.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки: 1 - цифровая скоростная видеокамера; 2 - объектив; 3 - измерительная ячейка; 4 - источник света; 5 - компьютер

Обработка результатов экспериментов

В основе динамических методов определения теплофизических свойств жидкости лежит анализ динамики изменения формы капли, получаемой с помощью быстродействующих цифровых видеокамер. Дополнительные проблемы при реализации динамических методов связаны с необходимостью обработки большого количества кадров (до тысячи и более). Ручная обработка такого объема информации даже с использованием современных мощных компьютеров и стандартных прикладных программ занимает неоправданно большое время.

Исходная информация представляет графические файлы в стандартном точечном формате ВйМаР (ВМР), каждый из которых содержит изображение формы капли в разные моменты времени (рис. 3 а).

Рис. 3. Изображение капли: а - растровое изображение; б - контур меридионального сечения

На первом этапе обработки серое изображение переводится в черно-белое монохромное, при чем выбирается среднее значение цвета из палитры цветов. В результате определяется граница белого и черного цветов и, соответственно, координаты точек контура изображения (рис. 3б). Выбор граничного цвета при переводе изображения из серого в монохромное вносит определенную ошибку в результат. Так, например, при выборе пятой части полной палитры относительная погрешность определения объема капли составляет 0,2 %.

В качестве иллюстрации методики ниже приведены результаты обработки экспериментальных данных, полученных на лабораторной установке, схема которой представлена на рис. 2. Капля дистиллированной воды выдавливалась из капилляра, и с помощью

высокоскоростной цифровой видеокамеры фиксировались процессы отрыва капли от капилляра, падения капли и фаза затухающих колебаний капли на подложке (рис. 4). Регистрация изображений производилась с частотой 1000 Гц (1 мс соответствует одному кадру) на ПЗС-матрице размером 1024^1024 пикселей.

0с 2х10"2 с 2,8x10'2 с 3,0х10"2 с 3,7хЮ'2 с 6,9x10'2 с

Рис. 4. Кадры характерных фаз колебаний капли воды

Результаты обработки 1311 файлов изображений фаз колебаний капли на подложке из фторопласта в виде зависимостей площади поверхности капли от времени процесса показаны на рис. 5. Геометрические размеры представлены в пикселях, что дает возможность оценить погрешности обработки, не привязываясь к разрешению ПЗС-матрицы конкретной видеокамеры. Масштабный коэффициент для пересчета пикселей в миллиметры определяется прямым методом - предварительной съемкой калиброванного эталонного стального шарика.

В результате обработки изображений определяются основные геометрические характеристики капли: радиус, площадь поверхности и объем капли как функции времени. Средний объем вычисляется осреднением соответствующей осциллограммы. Максимальная относительная ошибка определения объема в эксперименте составляет 0,2 %. Соответственно, ошибка в определении радиуса эквивалентной сферы составит для данного разрешения матрицы (масштабный коэффициент 0,0159 мм/пк) менее

0,1 %. Для расчета среднего периода колебаний использовалась сплайн-интерполяция [9].

С точки зрения уменьшения объема вычислительных процедур логично было бы период колебания и коэффициент затухания определять по осциллограмме колебаний вершины капли. Однако при большой начальной амплитуде и значительных размерах капли (приближение капиллярных волн неприменимо) колебания

О 200 400 600 800 1000 1200

Рис. 5. Осциллограмма колебаний площади поверхности капли

носят нерегулярный характер и возрастает ошибка определения как среднего периода, так и коэффициента затухания колебаний. В то же время осциллограмма колебаний поверхности капли за счет усреднения перетоков жидкости внутри капли имеет более упорядоченный характер.

Расчет коэффициента поверхностного натяжения

Рассмотрим каплю идеальной несжимаемой жидкости, лежащую на горизонтальной плоскости. Предположим, что жидкость не смачивает поверхность (угол смачивания равен п). Уравнение возмущенной поверхности осесимметричной капли в сферической системе координат (0, г) с началом в центре тяжести капли и осью г (осью симметрии), перпендикулярной горизонтальной плоскости, запишется в виде:

где Л(0) - не зависящая от времени функция, описывающая равновесную форму капли в поле силы тяжести; £(0, 0 - осесимметричное возмущение поверхности капли; Я0 - радиус сферы

эквивалентного объема капли. Будем считать, что |£(0, О|<<|Л(0)|. Форма капли описывается функцией

Р(г,0,^ = г - гР (0,^ = 0. (2)

Изменение поверхности капли во времени записывается в виде:

где и - вектор скорости.

Уравнение движения капли имеет вид:

где р - давление; р - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; е - единичный вектор в направлении оси г.

Из уравнений (3) и (4) можно получить соотношение

где pt = ^ — Pn (cos 0)аи (t) - зависящая от времени составля-

ющая давления; Pn(cos0) - полиномы Лежандра; an(t) - коэффициенты разложения в ряд.

Подставив выражение (2) в уравнение (5), получим уравнение:

справедливое на границе капли при г = Я0 (1 + Я + ^).

Умножим уравнение (6) на Рт 8Ш0 и проинтегрируем по углу от 0 до п:

= х(((п) + nt- 1)I(m,Я,n))-)^m,——,n \an, где ^ = ^Pn (cos 0) (t); в„ - коэффициенты разложения;

I(m, f,n) = JPJ()Pn sin0d0.

Граничное условие для давления на поверхности капли запишется в виде:

Ро -PgZ + Z П ( + R )Pn an =

где z = rF cos 0 = R ( + R + ^)) (cos 0);Pj(cos0) - полином Лежандра 1-го порядка; о - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, L =-----1—— sin 0— - угловая часть оператора Лапласа

sin 0 Э0 Э0 и LPn = n(n + 1) Pn.

Динамика поверхности соответствует нестационарной части уравнения (8):

-Р^с I PnPP +1 n (1 + R )Pn а и =

= RI ( - 2)ZPnPn - 2^enPnLR - 2RL^PnP ]■

Умножив уравнение (9) на Pm sin0 и проинтегрировав по углу от 0 до п, получим:

a f (I(m,1,n)-2I(m,R,n)- ^ (10)

в ^ (n - i)(n + 2) V У ’ = 0,

n R I I 2I(m,LR,n) + BoI(m,_P1;n)

где Во = - число Бонда.

Следует отметить, что суммирование в формулах (7) и (9) начинается с п = 2. Это связано с выполнением условий постоян-Г 4 з

ства объема капли J <ЗУ = 3 и неподвижности ее центра масс

Система уравнений, определяющих собственные частоты колебаний капли, имеет вид:

(п - 1)(п + 2 )(1 -(2п +1)7 (т, Я, п ))-

4п2 + 4п -1 4п2 + 4п - 3 /

Минимально возможная частота колебаний капли соответствует п = 2. При Я = 0 и Во = 0 формула (11) переходит в формулу Релея [4]:

Пренебрегая вкладом формы капли в уравнении (11), получим соотношение

ю2 = -80- (1 + Во—1, (13)

которое описывает гравитационную поправку к частоте собственных колебаний.

Результаты обработки экспериментальных измерений и расчета коэффициента поверхностного натяжения при различных числах Во показали, что только при числах Во < 0,01 ошибка в определении коэффициента поверхностного натяжения по соотношению Рэлея составляет менее 1 %. Условие Во < 0,01 соответствует ^о<005 [2с

— < 0 , 05 , где а =---капиллярная постоянная.

Введение поправки (13) позволяет вычислять коэффициент поверхностного натяжения с приемлемой точностью до значений числа Во = 0,35.

Расчет коэффициента вязкости

Вид функциональной зависимости амплитуды колебаний может быть выбран согласно рекомендациям, приведенным в [5]

где а1, а2, а3 - параметры; t - время.

Коэффициент вязкости определяется по формуле [5]:

При вычислении коэффициента вязкости решается обратная задача определения параметров уравнения (14). Рассмотрим функционал, представляющий сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от расчетной кривой

где у. - координаты экспериментальных точек; у - координаты расчетных точек.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎