Что такое функция в математике

Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.

Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч .

То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час .

Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа ?».

Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа , нужно 60 умножить на 2 . Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км .

Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч .

Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.

Обозначим за « x » время автомобиля в пути.

Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.

Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).

Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.

Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч . То есть подставим в формулу « y = 60 · x » значение x = 1 .

y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час . Это совпадает с нашими расчетами ранее.

Теперь рассчитаем для x = 2 . y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа .

Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».

Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:

Функцией называют зависимость « y » от « x ».

• « x » называют переменной или аргументом функции.
• « y » называют зависимой переменной или значением функции.

Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.

Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.

Примеры других функций:

• y(x) = 2x
• y(x) = −5x + 2
• y(x) = 12x 2 −1

Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).

Способы задания функции

Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .

Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».

Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.

Найдем значение функции « y » при x = 0 . Для этого подставим в формулу вместо « x » число « 0 ».

Запишем расчет следующим образом.

Таким же образом найдем значения « y » при x = 1 и при x = 2 .

Найдем значение « y » при x = 1 .

Теперь найдем значение « y » при x = 2 .

С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».

Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».

Найдем значения « y » при x = −1 , x = 0 и x = 1 .

Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию, у которой перед « x » есть минус.

Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».

При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.

Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».

Теперь для функции « y(x) = −x + 4 » найдем значения « y » при x = 0 и x = 1 .

Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».

x y −1 5 0 4 1 3

Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.

Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.

Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ».

Найдем несколько значений « y » для произвольных « x ». Например, для x = −1 , x = 0 и x = 1 .

Результаты запишем в таблицу.

x Расчет −1 y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.

Имя точки x y (·) A −1 3 (·) B 0 1 (·) C 1 −1

Отметим точки А(−1;3) , B(0;1) и С(1;−1) на прямоугольной системе координат.

Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции « y(x) = −2x + 1 ».

График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо « x ».

Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо « x ».

Полученный график функции « y(x) = −2x + 1 » это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.

При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.

Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.