Треугольники - геометрия и искусство

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Вершины — три точки А, В и С. Стороны — отрезки АВ, ВС и СА. Углы — ∟ ВАС, ∟ СВА и ∟ АСВ.

Периметр треугольника — сумма длин трех сторон треугольника.

Медиана треугольника ( m)— отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника (b) — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника (h)— перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.

Теорема. Сумма углов треугольника 180 °

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. АВ <АС + СВ.АС <AB + BC.BC <ВА + АС.

В треугольнике:1) против большей стороны лежит больший угол2) против большего угла лежит большая сторона

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

В треугольнике может быть только один тупой угол

В треугольнике может быть только один прям ой угол

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Теорема В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.ТеоремаВ равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны

Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВТеорема : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны .

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема . Если сторон а и два прилежащих уг ла одного треугольника соответственно равны сторон е и двум прилежащим угл ам другого треугольника, то такие треугольники равны .

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема . Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Прямоугольный треугольник

ГИПОТЕНУЗА - сторона прямоугольного треугольника, лежащая прготив прямого угла. (греческое "гипо" - под, снизу, внизу, "тейнейн" - натягивать (тетеву лука)).

КАТЕТ — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Название «катет» происходит от греческого káthetos — перпендикуляр, опущенный, отвесный. Название также встречается в архитектуре и означает отвес через средину задка ионической капители. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ • Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° . • Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.• Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны .

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету

Треугольник — это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу. В одно м египетском папирусе 4000-летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания на боковую сторону (а не на высоту). Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень активно. Пифагор открывает свою теорему. Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны; становится известным, что биссектрисы, как меридианы и высоты, пересекаются в одной точке. Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения, лежат, на одной окружности». Эта окружность получила название «окружности девяти точек». Ее центр оказался в се-редине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности.

Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему приписывает такую красивую, с теорему: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника». Этот треугольник называется внешним треугольником Наполеона. " Аналогично строится и внутренний треугольник Наполеона. Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.

Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком Ф ранком Морли. Он доказал, что если в треугольнике провести через вершины лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника (1899) .