Арифметика на шахматной доске (двоичная арифметика)

Проблема в том, что люди не хотят учиться. Даже выполнению элементарных арифметических действий.

А зачем, если есть калькулятор? — Жми кнопки, да жми!

И всё же многим людям придётся учиться складывать, вычитать, умножать и делить без калькулятора. Поэтому, сейчас как никогда, важно облегчить им эту задачу.

В настоящем сообщении высказывается идея, значительно упрощающая изучение арифметических операций за счёт того, что

— не нужно сразу зазубривать таблицы сложения и умножения в десятичной системе счисления,

— не нужно ничего писать, достаточно пользоваться шахматной доской.

Кроме того, то, что будет изучать ребёнок, широко применяется в современных компьютерах, следовательно, в дальнейшем пригодится.

В своё время я таким способом успешно обучал арифметическим операциям своего старшего сына, когда он был ещё дошкольником.

Оборудование: шахматная доска, на которую для удобства нанесены линии, как показано на рисунке. Впрочем, если жалко портить шахматную доску, можно обойтись и без линий.

Деление клеток на белые и чёрные не требуется.

Поэтому можно взять большой лист бумаги, разграфить его, как показано на рисунке, но клеточки не закрашивать.

Наконец, потребуются шахматные пешки или шашки.

Идея состоит в том, что изучение арифметических операций начинается с двоичной системы счисления, и только потом следует переходить к десятичной системе счисления.

1. Что такое двоичная, десятичная и, вообще, позиционная система счисления.

Это такая система, в которой значение каждой цифры в записи числа зависит от её разряда (позиции).

Например, в привычной для нас десятичной системе счисления число 777 = 7 сотен + 7 десятков + 7 единиц. Т.е. одна и та же цифра 7 означает разные количества, — или сотни, или десятки, или единицы, — в зависимости от того, какой разряд (позиция).

Далее, в разряде единиц могут находиться следующие цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Они обозначают соответствующие количества (числа). Следующее число — 10. При записи этого числа произошло переполнение разряда единиц. В результате в разряде единиц появился нуль, но зато в разряде десятков единица. Аналогично происходит переполнение всех прочих разрядов.

В двоичной системе переполнение разрядов происходит уже при двух, в троичной системе при трёх и т.п.

2. Сложение в двоичной системе счисления.

Таблица сложения в двоичной системе очень проста:

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10.

Представим последнее равенство на шахматной доске: 0 — шашки нет, 1 — шашка есть.

Две шашки вызывают переполнение разряда.

Отсюда понятно правило сложения:

— если в вертикальном ряду есть две шашки, то их снимаем с доски, вместо них выставляем одну шашку в левом соседнем ряду.

— эта операция, если необходимо, повторяется; она сама собой прекратится, когда в ряду останется только одна шашка или не останется ни одной шашки.

При решении конкретных задач правило сложения применяется многократно до тех пор, пока не получится окончательный результат, который спускаем в самую нижнюю строку, расположенную под линией, — в строку результатов.

Пример на сложение: 7+5+9=21.

Рекомендация: необходимо дать ребёнку готовую таблицу перевода двоичных чисел в десятичные и обратно, а также научить пользоваться ею.

3. Вычитание в двоичной системе счисления.

В качестве примера рассмотрим 9-3=6:

В первом разряде вычитание производится просто: 1(белая шашка)-1(чёрная шашка)=0.

Во втором разряде приходится из нуля вычитать единицу, поэтому "занимаем" в старших разрядах. — Шашку старшего разряда убираем, но зато вместо неё ставим две шашки в соседнем младшем разряде.

В нашем примере мы воспользовались этим правилом дважды, наконец, результат снесли в самую нижнюю строку результатов.

4. Умножение и деление в двоичной системе счисления.

Сначала полезно несколько раз убедиться в том, что в результате удвоения числа, т.е. сложения его с самим собой, число без изменения перемещается на один разряд влево. Иначе говоря, к записи числа справа приписывается один нуль.

5х2 = 10 в двоичной системе:

Если умножить на четыре, т.е. два раза по два, то справа приписывается два нуля

5х2х2 = 10х2=20 в двоичной системе:

Операции умножения и деления основаны на таблице умножения, которая в двоичной системе выглядит точно так же, как соответствующая часть таблицы умножения в десятичной системе:

0х0=0, 0х1=0, 1х0=0, 1х1=1.

Отсюда понятно, что умножение столбиком и деление уголком выполняется точно так же, как в десятичной системе, с единственным отличием, — сложение и вычитание, там, где это требуется, выполняются по правилам двоичной системы, т.е. по правилам, рассмотренным выше.

Поэтому нет необходимости рассматривать операции умножения и деления подробно. Ниже приводятся лишь один пример на умножение, 7х5=35, и один пример на деление, 20:3=6(2 в остатке):

Обратим внимание, что во всех операциях, кроме деления, имелась полная определённость с разрядами, поэтому нуль изображался отсутствием шашки.

При операции деления такая определённость пропала, поэтому нуль необходимо изображать явно. Можно, например, шашку перевернуть, как будто это дамка, и договориться, что так будем изображать нуль.

Вот и всё. Все главные особенности арифметических операций уже освоены. Теперь, для того, чтобы научиться вычислениям в десятичной системе, достаточно лишь выучить десятичные таблицы сложения и умножения.

5. Какую ещё пользу можно извлечь из знания двоичной системы?

Оказывается, из двоичной системы счисления можно легко перейти в четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, которые применяются в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации.

Но об этом писать не буду, — в Интернете и так много информации, см., например, "Система счисления".