Урок математики "Признаки делимости чисел"

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что b • q = a, то говорят, что число a делится на число b, или число а кратно числу b.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

1) 28 8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346 6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12 12 делится на 3 без остатка, Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15 15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

1) 716 16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636 36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Признаки делимости на 4. Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

1) 92 9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68 6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

1) 1380 Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715 Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Признак делимости на 6. Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

948 Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Признаки делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Пример:

364 36 – (4 • 2) = 28 28 : 7 = 4 Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Пример:

24816 816 : 8 = 102. Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Признак делимости на 8. Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

Пример:

952 95 + 1 = 96 9 + 3 = 12 12 : 2 = 6(делится на 2). Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Пример:

27891 2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27 27 : 9 = 3 Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 10. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Пример:

1) 17310 Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810 Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Пример:

1) 103785 1 + 3 + 8 = 12 0 + 7 + 5 = 12 Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627 9 + 6 + 6 + 7 = 28 1 + 3 + 2 = 6 28 – 6 = 22 22 : 11 = 2 Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

Пример:

845 84 + (4 • 5) = 104 : 13 10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2 Число 845 делится на 13 без остатка.

Признак делимости на 17. Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053 2905 + 36 = 2941 294 + 12 = 306 30 + 72 = 102 10 + 24 = 34 Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

646 Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76 7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19 19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Признак делимости на 20. Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Пример:

2740. Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Признак делимости на 23. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

28842 Число делится на 23, так как 288 + (3 • 42) = 414 4 + (3 • 14) = 46 46 делится на 23.

Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

Пример:

122166 12 + 21 + 66 = 99 Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Признак делимости на 101. Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

590547 59 – 05 + 47 = 101 101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.