Чувашской Республики среднего профессионального образования
Данное пособие полностью соответствует примерной учебной и рабочей программам. Способствует самостоятельную работу студентов над освоением учебной дисциплины и формирует практические умения.
Пособие является необходимым дополнением учебнику Л.С.Атанасяна и др. "Геометрия. 10-11 классы" (издательство "Просвещение").
Основное назначение тетради - обеспечение решения задач студентами на занятиях и дома после ознакомления с новым учебным материалом. Тетрадь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если студент пропустил занятия из-за болезни.
Прямые и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых.
Признак скрещивающихся прямых.
Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
Угол между прямой и плоскостью.
Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические тела и поверхности.
1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства .
2. Пирамида. Усеченная пирамида.
3. Правильные многогранники.
4. Поверхность тел вращения. Цилиндр.
5. Конус. Усеченный конус.
Прямые и плоскости в пространстве.
А 1 . Через любые три точки, ________________________________________________________, проходит плоскость, и притом _________________________.
А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то______________________________________ лежат в этой плоскости.
А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _____________________________, на которой лежат ________________________________________ этих плоскостей.
Вопрос. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой?
Ответ. Да. Так как каждая точка принадлежит обеим плоскостям, то эти плоскости по аксиоме ______ имеют __________________________________.
T еорема 1. Через прямую и __________________________________ точку проходит плоскость, и притом ___________________________.
Дано : прямая a , М .
а) через прямую а и точку M прохо дит плоскость;
б) такая плоскость единственная.
а) Пусть . Точки _________________ не лежат на одной прямой,
поэтому через эти точки по________________________ проходит некоторая плос кость α. Так как , то прямая а лежит в плоскости α_______. Итак, плоскость α проходит через точку ______ и _______.
б) Допустим, что через прямую а и точку M проходит еще одна плоскость β. Тогда точки _________ будут лежать и__________________ . Следовательно, по ________________ плоскости α и β __________________ . Таким образом, через точку _______ и ______ проходит_________________ плоскость. Теорема доказана.
Теорема 2. Через две ________________________ прямые проходит плоскость, и притом _____________________ .
Дано : прямые a и b , .
а) через прямые a и b проходит плоскость;
б) такая плоскость единственная.
а) Пусть , причем H и M - ____________________ точки, тогда по ___________________ через прямую a и точку H проходит плоскость . Так как две точки ____ и ____ прямой b лежат в плоскости α, то по _______________ прямая b ___________________. Итак, через прямые a и b проходит ______________________.
б) Допустим, что через прямые a и b проходит еще одна ______________ β. Тогда точка ______ и _______________ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно ___________________ , плоскости α и β _______________ . Таким образом, через пересекающиеся прямые ____ и ____ проходит ____________ плоскость. Теорема доказана.
№ 1 . На рисунке изображен куб. Назовите:
а) плоскости, в которых лежат пря мые NE , MN , TP , PM ;
б) точки пересечения прямой MN с плоскостью DCC 1 , прямой СЕ с плоско стью ABD , прямой РМ с плоскостью ВСС 1 ;
в) прямые, по которым пересекаются плоскости А B С и В 1 C 1 N , A l B l C l и CDE ;
г) точки пересечения прямых АР и ЕС 1 , DE и B 1 C 1 , AT и A 1 D 1 .
а) Прямая NE лежит в плоскости D СС 1 , прямая MN лежит в плоско сти _______, прямая TP лежит в плоскости _______ прямая РМ лежит в плоскости ________.
б) прямая MN пересекает плоскость DCC 1 в точке ______, прямая СЕ пересекает плоскость ABD в точке ______, прямая РМ пересекает плос кость В CC 1 в точке _____.
в) плоскости A ВС и В 1 C 1 N 1 пересекаются по прямой _____, плоскости А 1 В 1 C 1 и CDE пересекаются по прямой _____.
г) прямые АР и EC 1 пересекаются в точке ______, прямые DE и В 1 С 1 пересекаются в точке _____, прямые AT и A 1 D 1 пересекаются в точке ______.
№ 2. Две смежные вершины и точка пересе чения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие вер шины параллелограмма в плоскости ? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).
Решение . Пусть смежные вершины В и C и точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD лежат в плоскости . Тогда по аксиоме ______ прямые ______ и ______ лежат в плоскости , и так как , то точки __________________________________________ .
№ 3. Точки M , N , P и Q не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые MQ и NP пересекаться?
Ответ . ______. Если бы прямые MQ и NP пересекались, то, соглас но ____________, эти прямые лежали бы в _______ плоскости, а по этому точки _______________ также лежали бы в этой плоскости, что про тиворечит _____________.
2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых.
Лемма . Если одна из двух __________________________ прямых пересекает данную плоскость, то и _______________________________________ эту плоскость.
Дано : - точка пересечения прямой a и плоскости .
Доказать : прямая b __________________________
Доказательство : Пусть – плоскость, в которой лежат параллельные прямые a и b . Так как , то __________________________ плоскости и пересекаются по некоторой прямой p , проходящей через ___________________. Таким образом, в плоскости прямая p пересекает прямую a в точке ______ , а потому она __________________ и параллельную ей ____________ в некоторой точке N , причем точка , так как _________ . Итак, N – общая точка прямой ____ и плоскости ____. Других общих точек с плоскостью прямая b не имеет. Действительно, если предположить, что прямая b ______________________________________ еще одну _______________________, то, согласно _____________________, прямая b будет целиком лежать в __________________ _, а значит, будет общей прямой _________________________ и потому совпадает _____________. Но это невозможно, так как по условию , а прямые a и p ____________________________. Лемма доказана.
Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они ____________________________.
Доказательство . Нужно доказать, что прямые a и b :
Лежат в одной _____________________.
Пусть K – какая-нибудь точка на прямой b . Плоскость, проходящую через прямую a и точку K , обозначим буквой . Прямая b лежит в плоскости , то, согласно лемме ________________________________________________ ___________________________________, прямая c также будет пересекать плоскость . Но , поэтому и прямая a будет _____________________________________________, что невозможно, так как прямая a лежит в _________________________. Итак, прямые a и b лежат в одной плоскости.
Прямые a и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы ___________________________________, параллельные _______________, что невозможно. Итак, . Теорема доказана.
№ 4 . Точка D не лежит в плоскости ABC , точки E , F , G , K – середины отрезков AD , DC , BC и AB .
а) Докажите, что точки E , F , G , K лежат в одной плоскости.
б) Найдите периметр четырехугольника EFGK , если AC = 18 см, BD = 24 см.
Решение. а) EF – средняя линия треугольника __________, поэтому _____ и EF = ______; KG – средняя _________________________ и потому _______________.
Следовательно, _____, т.е. точки E , F , G , K лежат на параллельных прямых, а значит, лежат в одной __________________.
б) Четырехугольник EFGK – параллелограмм, так как ________________________, причем EF = ____________, EK = _______________, а потому ____________________________.
Ответ. б) ____________
№ 5 . Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости , а вершина , точки M и N – середины сторон AC и BC . Докажите, что прямая .
Доказательство. Так как MN – средняя линия ________________, то , а потому, согласно _________________________________, .
№ 6 . Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости , а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N . Докажите что треугольники ABC и MBN подобны (задача 26 учебника).
Доказательство . На рисунке плоскость ABC проходит через прямую ________, параллельную плоскости , и пересекает ее по ________________, следовательно, __________, а потому ___________.
3.Признак скрещивающихся прямых.
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая _____________________________, в точке, _________ ____________________________________, то эти прямые скрещивающиеся.
Дано : прямая AB лежит в плоскости , прямая CD пересекает плоскость , .
Доказать: прямые AB и СВ - _______________________________
Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не ____________________. Тогда они будут лежать в некоторой ________________ β. Так как в этой плоскости будут лежать прямая AB и C , то плоскость β совпадает с ________________________, а значит, прямая CD _______________ __________________________________________, что противоречит _______________________ . Теорема доказана.
№ 7 . На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые:
а) AA 1 и B 1 C 1 ;
А) Прямая B 1 C 1 лежит в плоскости B 1 C 1 D 1 , а прямая AA 1 пересекает эту плоскость __________________ , причем так как ________________________ , поэтому, согласно ____________________________________, прямые AA 1 и являются _________________________________.
б) ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
№ 8. Прямые MN и PQ скрещивающиеся. Докажите, что прямые MQ и NP также скрещивающиеся.
Доказательство . Допустим, что прямые MQ и NP не ______ ______________________________. Тогда они лежат в некоторой плоскости β. Так как , то, согласно ____________________, прямые ___________ также будут ______________________ . Но это противоречит условию. Значит, прямые MQ и NP _____________________ .
4.Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости _____________________________________________ двум прямым другой плоскости, то эти плоскости __________________________.
Доказательство . Заметим, что по признаку _______
__________________________________________. Теперь допусти, что плоскости α и β не __________________________, а пересекаются по ___________________________________ c . Тогда плоскость α проходит через прямую a , параллельную плоскости _______ , и пересекает плоскость β по прямой c . Следовательно, . Но плоскость α проходит и ____________ _________________________________________________________________________________ , следовательно, . Таким образом, через точку M проходят две прямые ________ , параллельные прямой _____ . Но это невозможно, так как по ______________________________ _______________________________ через точку M ______________________________________ ____________________________ . Значит, наше допущение неверно и . Теорема доказана.
№ 9 . Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α (задача 52 учебника).
Доказательство . Пусть стороны AB и АС треугольника ABC па раллельны плоскости α. Докажем, что и третья сторона ВС параллель на плоскости α. Так как АВ ║ α, то, в плоскости α существует некоторая прямая А 1 В 1 ║ АВ. Аналогично существует пря мая А 1 С 1 плоскости α, параллельная пря мой AC . Итак, две пересекающиеся пря мые АВ и АС плоскости ABC параллель ны двум прямым А 1 В 1 и А 1 С 1 плоскости α, следовательно, _______________________________________ _______________________________________, эти плоскости ____________________________ , а потому прямая BC __________________________ плоскости α.
Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP , точки E , K и T лежат на отрезках FM , FN и FP , причем .
а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны.
б) Найдите площадь треугольника MNP , если площадь треугольника EKT равна 36 см 2 .
а) _______, так как _______________________________________, поэтому EK ║_______ и EK = ___________. Аналогично ________, так как _______________________________________________, поэтому KT ║ _______ и KT = ____________
Итак, пересекающиеся прямые EK и KT плоскости EKT соответственно ____________________ ________________________________________________ плоскости MNP , следовательно, эти плоскости ________________________________________
б) ___________, так как _______________________________________________________ _________________________________, и коэффициент подобия k равен _______. Поэтому _________ =_________, откуда ______________ = ________________
Ответ. б) ____________
№ 11 . На рисунке параллельные плоскости α и β пересечены прямыми MN и MF , P 1 , P 2 и Q 1 , Q 2 – точки пересечения прямых с плоскостями α и β. Найдите P 1 P 2 , если MP 1 :MQ 1 =3:4 и Q 1 Q 2 =72 см.
Решение . 1) Пересекающиеся прямые MN и MF задают некоторую ________________ . P 1 и P 2 – общие точки плоскостей α и , поэтому прямая P 1 P 2 - _______________________________, поэтому прямая Q 1 Q 2 - __________________
Итак, параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью , поэтому, согласно _________ ________________________________________________, линии их пересечения ______________ ________________, т.е. P 1 P 2 ║ ______________
2)__________, так как ______________, следовательно, _______, _____________ = ______________
5.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна к двум _________________________ прямым, ________________________ __________________________________________, то она ______________________________ __ __________________________________
Дано : прямые p и q лежат в плоскости α и пересекаются в точке O (рис. а).
Доказательство . Для доказательства перпендикулярности прямой a и плоскости α надо доказать, что , где m - __________________________________________________________
Рассмотрим два случая.
1)Пусть , прямая n пересекает прямые p , q и l в точках P , Q , L , OA = OB (рис.б). Так как прямые p и q – серединные __________________________________________ ____________________________, то AP = __________ и AQ = _________, и, следовательно, по ____________________________________. Поэтому ____________. Далее по ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________, поэтому AL = ______, а это означает, что ___________________________________ и его медиана LO является __________________, т.е. или ____. Так как и , то по лемме _________________________________________________________________________________ ______. Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой плоскости α, а это означает, что ____________
2)Пусть (рис.в). Проведем . Тогда по лемме _________ _________________________________________________________________________________ __________________________________________ и, следовательно, согласно _________ _________________________________. Итак, одна из параллельных прямых a и a 1 перпендикулярна ____________________________, поэтому и вторая прямая _______________ _________________________________________________, т.е. _______. Теорема доказана.
№ 12. Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая OM , перпендикулярная к плоскости ромба, причем OM = 6 см, AC = 16 см, BD = см. Найдите:
а) расстояние от точки M до вершин ромба;
б) расстояние от точки M до стороны DC .
Решение . а) Четырехугольник ABCD – ромб, а отрезки AC и BD – его диагонали, пересекающиеся в точке O , поэтому OA = _____, OB = _____. Так как , то ____ и _____. В треугольниках AMC и BMD медиана MO является и _______________, поэтому эти треугольники __________________________, т.е. ____________________________________. Из прямоугольного треугольника AOM с катетами 6 см и 8 см имеем: MA = _______. Из прямоугольного треугольника BOM находим: MB = ________________________ см.
Итак, MA = MC = ________, MB = MD = ________
б) В треугольнике DMC проведем и рассмотрим плоскость MOP . Прямая DC перпендикулярна к двум пересекающимся прямым _______ и _______ этой плоскости, следовательно, по _________________________________________________________________ ________________ _________, а потому перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности . прямоугольный, так как ______________________, OP – его высота, поэтому _______________ = _______________
Ответ. а) _______________; б) ______________
№ 13 . На рисунке . Докажите, что линия пересечения плоскостей AFC и BMC параллельна прямым AF и BM .
Доказательство . Так как , то AF ║________, и, следовательно, AF ║ BMC по _______________________________________ _________________ . Плоскость AFC проходит через прямую AF , параллельную плоскости ________, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей _______________ параллельна прямой _______. А так как AF ║ BM , то по ___________________________________ ___________________________ прямая BM также параллельна _______________________________________________________ ____________________.
№ 14 . Четырехугольник ABCD – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей, . Докажите, что:
Доказательство . Четырехугольник ABCD – квадрат, поэтому ________. По условию , следовательно, ________ и ________
а) Рассмотрим плоскость AMC . Прямая BD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ________________ этой плоскости, следовательно по ____________________________ ________________________________________________ BD _______, а потому прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BD ______ и BD _____
б) Рассмотрим плоскость BMD . ___________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
№ 15 . В тетраэдре MABC AB = AC , MB = MC . Докажите, что .
Доказательство . По условию треугольники BAC и BMC - _______________________ с общим ___________________________, поэтому их медианы AH и MH , проведенные к _____________ __________________, являются ________________________, т.е. ______ и _____________
Рассмотрим плоскость AMH . Так как ______, то по _________________________________________________ ______________ , а потому прямая BC перпендикулярна к любой _______________________________________________ _______, в частности _______
№ 16 . Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Докажите, что диагональ куба B 1 D перпендикулярна к диагонали AC его основания.
Доказательство . Так как грани AA 1 B 1 B и BB 1 C 1 C – квадраты, то . Следовательно, по ______________________________________________________. Рассмотрим плоскость . Поскольку , так как _______________________________, и , так как _______________________, то __________ по _____________________________________________________ __________________________, а потому _____________
6.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
№ 17 . Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника).
Решение . Рассмотрим два случая:
концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α;
концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α.
Пусть отрезок AB расположен по одну сторону от плоскости α (см.рис. a ), см, см. Так как и , то ______, и поэтому четырехугольник A 1 ABB 1 - ____________. Проведем в ней среднюю линию PP 1 , тогда PP 1 ║_______, PP 1 ║_______, и так как , то и PP 1 _______. Следовательно, длина отрезка PP 1 и есть искомое расстояние от середины отрезка AB до плоскости α, ____________________ = ____________________=________ см.
Пусть концы отрезка AB расположены по разные стороны от плоскости α (см.рис.б) и пусть AA 1 и BB 1 – перпендикулярны к плоскости α, см, см. Так как и , то ______, и прямые AA 1 , BB 1 , A 1 B 1 лежат в одной ____________________. Проведем через точку P – середину отрезка AB – прямую, параллельную B 1 B. Тогда по _____ _____________________________________________ точки P 1 и F пересечения этой прямой с прямыми A 1 B 1 и A 1 B будут серединами отрезков ________ и _________, а отрезки P 1 F и PF – средними _______________________________________________________________________. P 1 P = P 1 F - ________ = ____________________=________ см.
Ответ. _________ см или ________ см.
№ 18. Расстояние от точки M до каждой вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC , если AB = 6 см (задача 143 учебника).
Решение . Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда расстояние от точки M до плоскости α равно ______. Так как , то ______, _____. =_______________=_______________ по _____________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ ___________________________________________________ ____ _________________________________, следовательно, OA = OB = OC , т.е. точка O равноудалена от ______________________________ ___________________ и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому AO = ________ = ____________________= ____________(см), и из прямоугольного треугольника AMO находим: MO = _______________ = _______________(см) = ______ см.
Ответ. ______ см.
№ 19. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD , перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный (задача 145 а учебника).
Доказательство . Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр _____ и наклонная ______. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции ______ наклонной ______ на эту плоскость, поэтому, согласно ______________________________________________________________, , т.е. треугольник CBD ____________________________________
№ 20 . Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 основанием которого является ромб ABCD , а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ B 1 D параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания.
Доказательство . _______________________, диагональ AC лежит в плоскости ABC , , так как _________________________________________________ __________________________________. Следовательно, согласно теореме ___________________________, _________
7.Угол между прямой и плоскостью.
№ 21 . Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB , которые образуют со своими проекциями на эту плоскость угол между наклонными равен 90 0 .
Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна см.
Решение . , поэтому _______ и _______. прямоугольный и равнобедренный: ______, ____=______, AO = ______, следовательно, MO = _____, AM = _______. прямоугольный: _____, ____, MO = ____, поэтому MB =2___= ____ см.
прямоугольный: _______, AM = ________, BM = ________, поэтому AB = _________________ = ______________= ________ см.
Ответ. ________ см.
№ 22 . Через точку A , удаленную от плоскости α на расстояние см, проведена прямая, пересекающая плоскость α в точке B . Найдите угол между прямой AB и плоскостью α, если AB = 2 см.
Решение . Пусть отрезок AO – перпендикуляр к плоскости α. Тогда AO = ____________, прямая OB – проекция ____________ ________________________, а угол между прямой AB и плоскостью α равен ________. Из прямоугольного треугольника AOB находим: ________=________, следовательно, ________
№ 23 . В прямоугольном треугольнике ABC см. Точка P не лежит в плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние см. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC .
Решение . Пусть PO – перпендикуляр к плоскости ABC . Поскольку отрезки PA , PB , PC – равные наклонные, проведенные из _______________ к _________________________________, то их проекции тоже ____________, т.е. OA = _________=_________, а потому точка O – центр окружности, ______________________________________________________________________. Следовательно, точка O – середина ________________________. Так как AB = ____________, то ______=______ см.
Искомый угол между прямой ______ и плоскостью ______ есть угол между ________________________________ ___________________________________, т.е.________. прямоугольный, так как _____________________, PC = ____________, CO = __________ см, поэтому ________ = __________ = _________. Отсюда получаем, что ______
8.Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
№ 24 . К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой см проведен перпендикуляр DC , равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB .
Решение . Треугольники ABC и ADB равнобедренные: _______________________, а в DA = _______, так как эти стороны - ______________________________ _____________ __________________________. Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из вершин C и D к общему основанию ________, являются __________________, и, следовательно, - линейный угол _____________________________________________, а значит, угол между плоскостями DAB и CAB равен ______. прямоугольный, DC =_____, ______=______ см и поэтому ______ = ______ = ______, откуда ____
№ 25 . Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60 0 . Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см (задача 172 учебника).
Решение. Проведем перпендикуляр BO к плоскости α. Отрезок BC – наклонная к _________ ________________________, отрезок OC – проекция наклонной ______ на __________________, а прямая AC , лежащая в плоскости α, перпендикулярна к наклонной BC . Следовательно, согласно _____________ ________________________________________________ _____________, . Таким образом, - линейный угол двугранного угла между плоскостями α и ABC , и, значит, ________
прямоугольный: ______, AC = ________, AB = _________, поэтому BC = _________
прямоугольный: ______, ______, BC = _________, следовательно BO = _____________ см = ____________ см = ______ см.
Ответ. ______ см.
№ 26 . Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60 0 . Найдите сторону ромба, если и расстояние от точки B до плоскости ADM равно (задача 176 учебника).
Решение . Проведем перпендикуляр BP к плоскости ADM . Искомое расстояние от точки B до плоскости ADM равно BP . Проведем высоту ромба BE . Тогда получим, что из точки B к плоскости ADM проведены перпендикуляр ______ и наклонная ______
Следовательно, отрезок PE – проекция _________________ __________ на ________________
Прямая AD , лежащая в плоскости ADM , перпендикулярна к наклонной BE , а потому, согласно _____________________ _____________________________________________________, ______, и - линейный угол ________________________________________________, т.е. ________
прямоугольный, так как _______________________________, причем _____ , BP = _________, поэтому BE = _________________________ = _________________ = _________
прямоугольный: _______, ______, BE = __________, следовательно, AB = ________________ = __________
№ 27 . Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 если его диагональ В D 1 =24 см и составляет с плоскостью грани DAA 1 , угол в 45 0 , а с ребром DD 1 , — угол в 60 0 .
Решени е . Все грани прямоугольного параллелепипеда — ____________________, поэтому BA _______ , ВА ______, и, следовательно, BA DAA 1 . Прямая BD 1 пересекает плоскость DAA 1 в точке ________ , а прямая AD 1 — проекция____ на эту плоскость, поэтому =____. Из прямоугольного треугольника , в котором _________, D 1 B = __________ и ______, находим: AB = AD 1 = _______=________ см. Из прямоугольного треугольника BD 1 D , в котором _______, BD 1 = ____, =___ по условию, получаем ______= ______ см. Из треугольника AD 1 D , в котором ______, AD 1 =__________, DD 1 =______, находим: AD = ______ см.
Геометрические тела и поверхности.
1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства.
№ 28 . Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке многогранников?
а)Тетраэдр DABC составлен из ___________ граней. Он имеет ___________ ребер и _______ вершины. Диагональю многогранника называется ______________, соединяющий две _______ _______, не принадлежащие _____________________. У тетраэдра любые две вершины _______ _____________________ одной грани, следовательно, у него ______________ диагоналей.
б) ________________________________ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 составлен из ____________ граней. Он имеет __________ ребер, _______ вершин и _______ диагонали ( AC 1 , _________________).
в) __________________________ NABCDS имеет ___________________________________ _____________ и _____________ диагонали ( AC , ________________ ).
№ 29 . Заполните пропуски в предположении:
В выпуклом многограннике сумма всех __________________ углов при __________________ его вершине __________________ 360 0 .
№ 30. Какой из данных многогранников является призмой?
Решение . а) Грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 многогранника ____________________________ равны и расположены в параллельных ______________________________. Остальные ________ грани – параллелограммы. Следовательно, __________________________ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 __________ ____________ призмой.
б) Грань KK 1 M 1 M многогранника ________________________ не является _______________ ________________________. Следовательно, этот многогранник _________________________ призмой.
в) У многогранника ABCD нет граней, расположенных в ______________________________ плоскостях. Следовательно, этот многогранник _________________________________ призмой.
г) Грани ABC и A 1 B 1 C 1 ________________________ ABCA 1 B 1 C 1 – равные ________________, расположенные в ________________________ плоскостях. Остальные ________ грани являются ________________________________________. Следовательно, многогранник ABCA 1 B 1 C 1 _____ _______________________________ призмой.
№ 31 . Высота призмы равна 5 см. Чему равно расстояние между плоскостями оснований призмы?
Решение . Основания призмы расположены в _____________________________ плоскостях, а расстоянием между параллельными плоскостями называется ____________________ от произвольной _____________________ одной из параллельных ___________________ до другой плоскости.
Расстоянием от данной точки до плоскости называется длина ____________________, проведенного из этой ____________ к данной _________________
Поскольку высота призмы называется ______________________, проведенный из какой-нибудь точки одного _______________________ к плоскости другого _________________, то длина высоты и есть искомое _________________________ между плоскостями оснований ________________
Докажите, что все боковые грани прямой призмы являются прямо угольниками.
1) Прямой призмой называется ____________ , боковые ребра которой ______________ к основаниям. Но если прямая перпендикулярна к плоскости, то по определению она _____________ к любой прямой, лежащей в этой _________________. Сле довательно, боковые ребра прямой призмы ________________________________ к сторонам основания.
2)Каждая боковая грань призмы является _________________________,
а параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендику лярны, является ____________________. Следовательно, все боко вые грани прямой призмы — ____, что и требовалось доказать.
№ 34 . Диагональ AC основания прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равна 6 см, а высота призмы равна см. Найдите угол наклона диагонали A 1 C к плоскости основания.
Решение. 1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро ______________ _______________________ к плоскости _______________________ и равно высоте __________, т.е. AA 1 = см.
2)Поскольку прямая AA 1 ____________________________ к плоскости ABC, то прямая AC является ____________________ прямой A 1 C на плоскость ABC , и, следовательно, угол наклона ________________ A 1 C к плоскости ABC равен углу ___________
3)Поскольку прямая AA 1 ________________________ к плоскости ABC , то AA 1 ________ AC (по определению прямой, ___________________________ к плоскости). Из прямоугольного треугольника A 1 AC получаем: _________=_________:________=_______. Следовательно, __________
2.Пирамида. Усеченная пирамида.
№ 35 . Основание пирамиды – прямоугольник ABCD, AB = 18 м, BC = 10 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение. 1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле __________+__________. Так как основание пирамиды - _________________________ со сторонами 10 м и __________, то _____*_____=_________ (.
2)Чтобы найти площадь боковой ____________________ пирамиды, вычислим площади ее _______________ граней.
В прямоугольнике ABCD AC ____ BD , диагонали ___________________ в точке O , поэтому AO = BO =_____=_____. Отрезок MO – высота пирамиды, значит, MO - ____________________ к плоскости основания, и отрезки AO , BO , _____, DO – проекция наклонных AM , _____, _____, _____ и _____ на плоскость основания. Следовательно, AM = BM = _____ = _____ и _____, а _______ (по трем ____________________ ), поэтому .
3)Пусть , тогда OK _____ AB (обратная теорема о __________ перпендикулярах) и OK = _____ BC = 0,5*_____=_____ (м). Аналогично если , то ON = _____ AB = 0,5*_____ = _____ (м).
Поскольку , то MO_____OK, а значит, (м).
Итак, , _______________________ _________________. Отсюда получаем: =__________ (), .
№ 36 . Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.
Решение. 1) Пусть отрезок MO – высота _______________. Так как MA = MB =_____=_____, то OA =_____=_____=_____, поэтому точка O – центр _______________, _______________ около параллелограмма является ______________________________, диагонали которого пересекаются в точке _____ и равны друг другу.
2)По теореме Пифагора (см), следовательно, OA = _____ см.
3), поэтому MO _____ OA . В треугольнике AMO (см).
№ 37. Плоскость параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.
Доказательство . Так как плоскости A 1 B 1 C 1 и __________ параллельны, то A 1 B 1 _____ AB (____________________ параллельных плоскостей). Аналогично B 1 C 1 _____ BC , A 1 C 1 _____ AC и A 1 O 1 _____ AO . Поэтому
Итак, , что и требовалось доказать.
№ 38 . Заполните пропуски.
Точки M и M 1 называются симметричными относительно:
точки A _________________ a __________________ a
№ 39 . Заполните пропуски:
а) Точка называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ точка фигуры _________________________ относительно нее некоторой точке той же _____________
б) Прямая называется осью ____________________ фигуры, если каждая точка фигуры симметрична _________________________ нее некоторой _______________ той же фигуры.
в) Плоскость называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ _________________________________________________________________ относительно нее _____________________________________________ фигуры.
№ 40. Заполните пропуски в определении правильного многогранника:
Выпуклый ________________________ называется правильным, если __________ его грани - _________________________ многоугольники, и в ___________________ его _____________ сходится одно и то же число _______________
№ 41 . Докажите, что куб является правильным многогранником.
Доказательство . Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного ____________________, указанными в определении.
1)Куб ____________________ выпуклым многогранником.
2) Каждая грань куба - _______________, т.е. _____________ _________ многоугольник, и все грани _______________ между собой.
3) В ____________________ вершине куба сходится ________________________ число ребер, а именно _____ ребра.
Итак, у куба ______________ все признаки, указанные в определении ______________ многогранника. Следовательно, куб ____________________ правильным __________________, что и требовалось доказать.
№ 42 . Вершины A , C , B 1 и D 1 куба соединены попарно отрезками. Докажите, что многогранник ACB 1 D 1 является правильным.
Доказательство . 1) Получившийся многогранник ACB 1 D 1 – тетраэдр, а известно, что тетраэдр ______________________ выпуклым многогранником.
2)Все ребра многогранника ACB 1 D 1 являются __________________ граней куба, следовательно, они ________________ между собой, а потому все грани многогранника ACB 1 D 1 являются правильными ________________________________
3)В каждой вершине ____________________ ACB 1 D 1 сходится ____________________ количество ________________, а именно ____ ребра.
Итак, у тетраэдра ACB 1 D 1 _______________ все признаки правильного многогранника, следовательно, этот тетраэдр - ____________________ многогранник.
№ 43 . Запишите в таблицу значения параметров: n – число сторон грани правильного многогранника; k – число ребер, сходящихся в одной вершине; B – число вершин многогранника; P – число ребер; Г – число граней. Напишите названия многогранников. Вычислите для каждого из них величину В +Г – Р.
4.Поверхность тел вращения. Цилиндр.
№ 44 . Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагона лью и образующей цилиндра равен 60 0 . Найдите:
а) высоту цилиндра;
б) радиус цилиндра;
в) площадь боковой поверхности ци линдра.
Осевое сечение цилиндра представля ет собой _ , сторо ны ВС и AD которого являются _ цилиндра, а две другие стороны – оснований цилиндра. По условию задачи BD = _ см. DBC = _
а) Высота цилиндра равна его , а BС = BD *соs =
= * = (см), т.е. высота равна см.
б) Радиус цилиндра — это основания цилиндра: (см).
в) Площадь боковой _ цилиндра равна произведению _ окружности цилиндра на цилиндра, т.е. =.
а) см; б) см; в) см 2 .
№ 45 . Площадь боковой поверхности цилиндра равна S . Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Задача 538 учебника.)
Решение . Пусть h – высота цилиндра, r – его радиус. По условию задачи _____, т.е.
Осевым сечением цилиндра является _________________________ со сторонами 2r и _____. Поэтому площадь осевого сечения равна _____ * h. Учитывая равенство (1), получаем .
№ 46 . Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.
Если дно шляпы опустить на плоскость ее полей, то получим круг радиуса r = ____ см.
Площадь боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле ___ ______ r 1 h , где r 1 = ____________ см, _________ = 10 см. Следовательно, _______10*10 = ________ (см 2 ).
Итак, ____________см 2 .
Ответ. ____________ см 2 .
№ 47 . Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами a и 2a вокруг большей стороны. Найдите площадь:
а) осевого сечения цилиндра;
б) боковой поверхности цилиндра.
Решение . Пусть r – радиус цилиндра, h – его высота. По условию r = ____, h = ____
Ответ. а) ________; б) __________
5.Конус. Усеченный конус.
№ 48 . Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение - прямоугольный тре угольник. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 0 .
Решение . По условию задачи треугольник АРВ - ____________________, а так как PA = ____, то В прямоугольном треугольнике PAO катет м.
Пусть , тогда сечение, проведенное через образующие PA и ____, является ____ _______________________________ треугольником, в котором PC = ______ = 2 ______ м. Поэтому (м 2 ).
№ 49 . Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежа щим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение . Осевым сечением конуса является ____________________ треуголь ник. По условию задачи один из углов этого треугольника равен __________, сле довательно, это угол, противолежащий _______________ стороне треугольника, а потому боковые стороны треугольника равны _____ см, т. е. образующая l конуса равна ______ см. Из прямоугольного треугольника РОА находим радиус основания конуса: (см). Таким образом, , (см 2 ).
№ 50 . В трапеции ABCD A = 90°, =45 0 . ВС = 4 см, CD = см. Вычислите пло щади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вра щением данной трапеции вокруг сторо ны АВ. (Задача 571 учебника.)
Решение . При вращении данной трапеции получается _____________________ конус.
1)Проведем ___________. Тогда см, AD = AH +______ = ______ + HD = ______ см.
Ответ. ____________ см 2 и __________________
№ 51 . Точки A и B лежат на сфере с центром , а точка M лежит на отрезке AB . Докажите, что:
А) если M – середина отрезка AB , то ;
Б) если , то M – середина отрезка AB .
(задача 573 учебника)
Доказательство . а) Пусть точка M – середина отрезка AB , R – радиус сферы. равнобедренный, так как ________________ = R , поэтому медиана OM является также ________ ________________, т.е. ________________ AB .
Б) Пусть . Треугольник AOB равнобедренный, и OM – его высота по ___________, следовательно, OM – его ____________________, т.е. M - _________________________
№ 52 . Шар радиуса 17 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения.
Решение . Пусть точка O – центр шара радиуса R = 17 см, α – секущая плоскость и . По условию задачи расстояние OO 1 от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью α является ____________, площадь которого , где ____ - радиус сечения. Возьмем точку M на линии пересечения сферы и плоскости α, тогда треугольник OO 1 M ________________ (, OM = R = ____________, OO 1 = ____ см), откуда находим: O 1 M = r =________, ____________