Урок — объяснение нового материала по теме "Четные и нечетные функции"

Сегодня мы продолжаем разговор о свойствах числовых функций. Речь пойдёт о чётных и нечётных функциях.

Запишите, пожалуйста, в тетрадях число и тему урока: “Чётные и нечётные функции”.

Цель нашего урока усвоить определение чётной и нечётной функции и основные свойства, научиться применять эти знания к решению задач.

- Вспомним определение числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от х.

(каждому значению х соответствует единственное значение y)

Область определения – это множество значений, принимаемых независимой переменной. Обозначается D(f).

Свойство степенной функции:

если n – нечетное число, то (-х) n = - x n ,

- Предлагаю выполнить тест №1, который поможет нам в изучении новой темы (в помощь к заданию 4 - карточка-инструкция).

ТЕСТ №1.

1.Если 17 5 =584647, то (-17) 5 =____________.

2.Если 79 4 =38950081, то(-79) 4 =___________.

1) нечетное число, а) (-х) п =х п ;

2) четное число, б) (-х) п =-х п ;

4.Функция: Область определения:

5.Точке (2;1) симметрична относительно

а)оси Ох точка_____________________;

б)оси Оу точка______________________;

в) начала координат точка_______________________.

6. Среди графиков функций на рисунке симметричными относительно начала координат являются графики, обозначенные буквой:___________________.

Симметричными относительно оси Оу являются графики, обозначенные буквой______________.

КАРТОЧКА – ИНСТРУКЦИЯ

К РЕШЕНИЮ ПРИМЕРОВ

НА НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим числовые функции, т.е. функции, область определения и область значения которых- числовое множество.

Если функция задана формулой у= f(x), то и область ее определения совпадает с областью определения выражения f(x).

Областью определения выражения с одной переменной называется множество значений переменной, при которых это выражение имеет смысл.

Рассмотрим примеры. Укажите область определения функции:

y=x 2 -2x+13.

Решение. Областью определения данной функции являются все действительные числа, т.к.x 2 -2x+13 – многочлен.

y=7/(x-5).

Решение. Дробь 7/(x-5) имеет смысл при тех значениях х, при которых ее знаменатель х-5 не равен нулю. Чтобы узнать, при каких значениях х знаменатель дроби равен 0, надо решить уравнение х-5=0, откуда х=5. Значит, при х=5 знаменатель дроби равен нулю и дробь не имеет смысла (черта дроби означает деление, а делить на нуль нельзя). Таким образом, областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме числа 5.

y=(2-x)/(3x)

Решение. Числитель дроби может быть любым числом (в том числе и нулем, при этом дробь будет равна нулю). Знаменатель дроби не может быть равен нулю (в этом случае дробь не имеет смысла- на нуль делить нельзя). Решение можно записать следующим образом: 3х?0, х?0.

), или область определения- все действительные числа, кроме х=0.

y=x-5/x 2 -9.

Решение. х 2 -9?0. Решим уравнение х 2 -9=0; х 2 =9, х=±v9,х=±3, х1=-3, х2=3.

При х=-3 или х=3 дробь не имеет смысла. Значит областью определения функции являются все действительные числа, кроме чисел-3 и 3.

y=v2x+7.

Решение. При 2х+7<0 выражение v2х+7 не имеет смысла, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу. Значит, 2х+7?0. Решаем полученное неравенство:2х?-7 (если слагаемое с противоположным знаком перенести из одной части истинного неравенства в другую, то получим истинное неравенство), х?-7/2 (если обе части истинного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится истинное неравенство).Откуда х?-3,5

y=3/x 2 +5.

Решение. Знаменатель данной дроби х 2 +5?0 при любых значениях х, так как х 2 ?0 (квадрат любого числа есть число неотрицательное), а 5>0. Сумма неотрицательного и положительного чисел есть число положительное, т.е. не равное нулю. Значит, х может быть любым действительным числом.

), или множество действительных чисел, или R.

Решите самостоятельно:

Найдите область определения функций:

y=x 2 -3x+9; 2) y=2x/x 2 -1; 3) y=3/vx-3.

- Проверим полученные результаты… - Хорошо!

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любых х из области определения (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют чётные и нечётные.

Функция f называется нечётной, если для любых x из области определения f(-x) = - f(x).

Функция f называется чётной, если для любых x из её области определения f(-x) = f(x).

- Прочитайте внимательно текст параграфа и заполните таблицу, в которой необходимо закончить предложения.

Чётные и нечётные функции

- Сформулируйте основные свойства чётной и нечётной функции

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

- Какое вывод вытекает из этих двух утверждений?

При построении достаточно построить часть графика для х>0 и отобразить её симметрично -относительно оси ординат для чётной функции и -относительно начала координат для нечётной функции.

- Выполните № 61(г). –Молодцы! Хорошо!

Гимнастика для глаз

• Сидя за столом расслабиться и медленно подвигать зрачками слева направо. Затем справа налево. Повторить по 3 раза в каждую сторону
• Медленно переводить взгляд вверх–вниз, затем наоборот. Повторить 3 раза.
• Представить вращающийся перед вами обод велосипедного колеса и наметить на нем определенную точку, следить за вращением этой точки. Сначала в одну сторону, затем в другую. Повторить 3 раза.
• Положить ладони одну на другую так, чтобы образовался треугольник, закрыть этим треугольником глаза и повторить все упражнения в той последовательности, как описано выше.

ТЕСТ №2.

Установите соответствие.

1. Если область определения функции f (х) симметрична относительно нуля и

то f (х) является

а) четной функцией.

б) нечетной функцией.

Обведите кружком номер правильного ответа.

2.Областью определения четной или нечетной функции может быть множество:

3. Если область определения функции f (х) состоит из трех чисел –3; 0; 3 и

f (-3)=8; f (0)=7; f (3)=8, то функция f (х) является:

а) четной; б) нечетной; в) ни четной, ни нечетной.

Установите правильную последовательность шагов в алгоритме и исключите лишний шаг.

4.Функция будет четной, если:

2)ее область определения- симметричное множество относительно нуля;

- Поработаем устно. Мини-тест ЕГЭ.

Я думаю, что вы имеете крепкий фундамент, твёрдо стоите на ногах и готовы доказать четность или нечётность функции. № 57(в), 59(в).

Решим на доске: f(x) = 3x 2 + x 4

Область определения функции симметрична относительно начала координат, т.к. 3х 2 + х 4 – многочлен;

f(-x) = 3 (-x) 2 + (-x) 4 = 3x 2 + x 4 = f(x)

Cледовательно, f(x) = 3x 2 + x 4 – чётная функция.

Запишите, пожалуйста , домашнее задание (предлагаю дифференцированно):

п.4(1), № 57(г), 59(г), 61(б,в) тест № 3

- Спасибо за урок. До свидания!

ТЕСТ №3.

Если в область определения функции f(x) входят только положительные числа, то функция f(x) является:

чётной; 2) нечётной; 3) ни чётной , ни нечётной.

2. Функция f(x) принимает только отрицательные значения. Может ли она быть нечётной? 1) да; 2) нет.

Если нечётная функция f(x) положительна на множестве (-?; -5), то на множестве (5;+?) она ________________________________________________.

4. Если чётная функция f(x) отрицательна на множестве (5; +?), то на множестве(-?;- 5) она ___________________________________________________.

5. В данной ниже таблице установите соответствие между функциями и названиями их видов, поставив знак “+” в нужной клетке.