Тема урока по геометрии в 8-м классе: "Теорема Пифагора"

Оборудование: портрет Пифагора, переносная доска.

Ход урока

Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему, но прежде повторим и проверим домашнее задание.

Дайте определение квадрата.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Какое определение можно дать еще квадрату?

Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Тогда скажите, какой четырехугольник будет квадратом?

Четырехугольник будет квадратом, если:

• стороны равны,
• углы прямые

Если известна сторона квадрата, что можно найти?

Если известна сторона квадрата, то можно найти площадь.

Чему равна площадь квадрата?

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Сторона квадрата равна 11 см. Чему равна его площадь?

Что означает запись а 2 = 144?

Чему равна сторона квадрата?

Чему равна площадь фигуры F?

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Назовите еще свойства площадей.

Равные многоугольники имеют равные площади. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Сегодня мы будем говорить о правильном треугольнике. Давайте вспомним:

Определение прямоугольного треугольника.

Название его сторон.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против угла в 90° называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Подпишите на этом чертеже другие обозначения сторон (строчными латинскими буквами).

И так, с этого момента мы будем называть стороны прямоугольного треугольника гипотенуза и катеты.

Какие свойства прямоугольных треугольников вы знаете?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° , т. е. A + B = 90° , 1 + 2 = 90° .

Если B = 30° , то какая существует зависимость между сторонами этого треугольника?

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° ,равен половине гипотенузы.

Как на математическом языке записать эту зависимость?

Правильно! Эта зависимость записывается в виде равенства. Мы знаем, что треугольники (их виды) определяются по сравнительной величине углов и сравнительной длине сторон.

О каком прямоугольном треугольнике мы еще не говорили?

При каком условии этот треугольник будет равнобедренным?

Чем интересны эти треугольники?

Острые углы равны по 45°, катеты равны.

Зная определение и свойства прямоугольных треугольников можем решать задачи. Можем? Что можете определить в этом треугольнике.

АС = 10 см.; А = 60° ; S = АC * ВС = * 10* 17 = 85 (см 2 ).

Правильно! Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Что можете определить в треугольнике MNK?

Площадь! S = * 4 * 4 = 8 (см 2 ); N = M = 45°.

Легкие задачи? Тогда еще решим такую задачу! Что вы видите на рисунке.

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см. и 8 см.

Что можно определить в этом треугольнике?

Итак, АВС – прямоугольный с катетами 6 см. и 8 см. существует. Значит и гипотенузу в этом треугольнике можно вычислить. Чему же равна гипотенуза АВ?

Что известно в этой задаче?

Гипотенуза 5 см. и катет 4 см. в прямоугольном треугольнике.

Вычислите площадь АВС.

На какие вопросы мы должны ответить в этой задаче?

Задачу дорешать можете? Почему?

(Задачи подобраны таким образом, чтобы ситуация успеха сменилась проблемой. Как найти стороны прямоугольного треугольника? Заострить внимание на смысле слова “зависимость”)

Какую поставим перед собой задачу?

Как найти гипотенузу и катет в прямоугольном треугольнике?

Итак, какая существует зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике?

Я вам предлагаю прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Определите зависимость между этими сторонами. Догадаетесь или нет?

А выполняется ли эта зависимость в этом треугольнике?

Давайте прочитаем на языке геометрии, что же за зависимость получилась?

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таких чисел очень много! И так, какую гипотезу мы выдвигаем?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Можно этой зависимостью пользоваться при решении задач?

А верно ли что для любого прямоугольного треугольника?

Давайте сформулируем эту теорему.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Впервые эту теорему доказал древнегреческий ученый Пифагор, живший в VI веке до н. э. Поэтому она носит имя Пифагора.

Запишите тему урока “Теорема Пифагора”. Кто сможет сформулировать эту теорему?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

Доказать:

Доказательство

Доказывается по аналогии с теоремой о площади прямоугольника. Достроим до квадрата со стороной а + в.

Что можно найти?

Чему равна площадь квадрата CMNK?

Квадрату его стороны, т. е. S = (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 . (1)

Давайте соединим концы этих отрезков. Обозначим буквами эти точки АВДЕ. На чертеже подпишем и обозначим стороны получившихся фигур. Образовавшиеся треугольники равны?

Обозначим углы этих треугольников. Против равных сторон лежат равные углы. Что произошло с квадратом?

Он разделен на фигуры – 4 треугольника и четырехугольник ДВЕА.

Как еще можно найти площадь квадрата?

Как найти SВДЕА? Что надо знать? Какой это четырехугольник?

Квадрат? Мы же не знаем, что нельзя верить глазам своим, если речь идет о геометрии. И определение вида этого четырехугольника на глаз не годится. Значит надо доказать! Давайте определим угол В!

1 + 2 = 90° (по свойству острых углов);

1 + 4 + 3 = 180° (составляет развернутый угол);

2 = 4 (из равенства треугольников);

Аналогично можно доказать что остальные углы равны 90° . Какой можно сделать вывод?

Четырехугольник ВДЕА – квадрат со стороной а.

Чему равна площадь ВДЕА?

Вернемся к площади квадрата CMNK.

Посмотрите на равенства (1) и (2). Что вы видите?

Правые тоже равны; т. е. а 2 + 2ав + в 2 = 2ав + с 2 , а 2 + в 2 = с 2 или с 2 = а 2 + в 2 .

И так, мы взяли произвольный прямоугольный треугольник со сторонами а, в, с и доказали, что?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Мы получили формулу, которая выражает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Значит по этой формуле можно найти квадрат гипотенузы: с 2 = а 2 + в 2 .Что для этого нужно знать?

Как найти квадрат катета?

а 2 = с 2 - в 2. , в 2 = с 2 - а 2 .

При решении задач чаще используются прописные буквы, обозначающие вершины. Запишите теорему Пифагора для этих треугольников.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , ВД 2 = ВС 2 + ДС 2 , NK 2 = KM 2 + MN 2 .

Для чего нужна теорема Пифагора? Что можно найти с помощью этой теоремы? Давайте дорешаем задачи <риcунок 9>.

По теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 ; АВ 2 = 6 2 + 8 2 ; АВ 2 = 36 + 64; АВ 2 = 100; АВ = 10.

По теореме Пифагора

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 ;

5 2 = 4 2 + ВС 2 ;

16 + ВС 2 = 25;

ВС 2 = 25 - 16; ВС 2 = 3 (см.).

S АВС = * 4 * 3 = 2 * 3 = 6 (см 2 .).

Будет ли верна теорема для АВС <рисунок 14>? Найдите сторону АС?

Запомните! Только в прямоугольном треугольнике можно пользоваться этой формулой для нахождения неизвестной стороны.

Учитель еще раз обращает внимание на основные моменты урока, отмечает самых активных учеников, выставляет оценки.

На переносной доске (справа от доски) шутливая формулировка теоремы.

Если дан нам треугольник Ипритом с прямым углом; То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем.