Исследование числовой области значений одной операторной матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Расулов Тулкин Хусенович, Дилмуродов Элёр Бахтиёрович

Рассматривается $2 \times 2$ операторная матрица ( обобщённая модель Фридрихса ) $A$, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на $$-мерной решётке. Этот оператор действует в прямой сумме ноль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства. Структура замыкания числовой области значений $W(A)$ этого оператора подробно исследована в терминах его матричных элементов при всех размерностях тора $^$. Выделены случаи, когда множество $W(A)$ замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора $A$ совпадал с

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Расулов Тулкин Хусенович, Дилмуродов Элёр Бахтиёрович

Investigations of the numerical range of a operator matrix

We consider a $2\times2$ operator matrix $A$ (so-called generalized Friedrichs model ) associated with a system of at most two quantum particles on $$-dimensional lattice. This operator matrix acts in the direct sum of zeroand one-particle subspaces of a Fock space . We investigate the structure of the closure of the numerical range $W(A)$ of this operator in detail by terms of its matrix entries for all dimensions of the torus $^$. Moreover, we study the cases when the set $W(A)$ is closed and give necessary and sufficient conditions under which the spectrum of $A$ coincides with its numerical range .

Текст научной работы на тему «Исследование числовой области значений одной операторной матрицы»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2 (35). С. 50—63

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ОДНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ МАТРИЦЫ

Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов

Бухарский государственный университет,

Узбекистан, 200100, Бухара,ул. Мухаммад Икбол, 11.

Рассматривается 2x2 операторная матрица (обобщённая модель Фридрихса) A, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на d-мерной решётке. Этот оператор действует в прямой сумме ноль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства. Структура замыкания числовой области значений W(A) этого оператора подробно исследована в терминах его матричных элементов при всех размерностях тора Td. Выделены случаи, когда множество W(A) замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора A совпадал с множеством W (A).

Ключевые слова: операторная матрица, обобщённая модель Фридрихса, пространство Фока, числовая область значений, точечный и аппроксимативно точечный спектры, операторы рождения и уничтожения, первый комплимент Шура.

Введение. Пусть H — комплексное гильбертово пространство и A: H ^ H — линейный оператор с областью определения D(A) С H. Множество

называется числовой областью значений (или коротко ч.о.з.) оператора А. Из определения видно, что множество W(А) является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества W (А) дают некоторую информацию об операторе А.

Изучение ч.о.з. линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что ч.о.з. матрицы содержит все её собственные значения. В работе [2] показано, что

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1275 © 2014 Самарский государственный технический университет.

Образец цитирования: Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов, “Исследование числовой области значений одной операторной матрицы” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 50-63. doi: 10.14498/vsgtu1275.

Сведения об авторах: Тулкин Хусенович Расулов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математической физики и анализа. Элёр Бахтиёрович Дилмуродов, ассистент, каф. математической физики и анализа.

E-mail addresses: rth@mail.ru (T.Kh. Rasulov, Corresponding author), elyor.dilmurodov@mail.ru (E.B. Dilmurodov)

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы

4.0. 3. оператора является выпуклым. Отметим, что отмеченные выше результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае — для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр любого линейного ограниченного оператора содержится в замыкании ч.о.з. этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4-10].

Ч.о.з. матриц хорошо изучены во многих работах, см. например [11-14]. В частности, в работе [11] доказано, что ч.о.з. матрицы 2 х 2 есть эллипс. Если элементами матрицы являются линейные операторы, то такие операторы обычно называются блочно-операторными матрицами (или просто операторными матрицами) и изучение ч.о.з. таких операторов в бесконечномерном пространстве представляет собой особый интерес. Поэтому исследование структуры ч.о.з. операторных матриц в терминах его матричных элементов является одной из интересных задач в спектральном анализе операторов.

Отметим, что в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числовой области значений есть выпуклая оболочка спектра [11]. Возникает естественной вопрос: для каких классов ограниченных самосопряженных операторов в бесконечномерном пространстве спектр совпадает с числовой областью значений? Вообще, существует ли такой оператор, кроме скалярного оператора? В данной работе установлена непустота такого класса.

В настоящей работе рассматривается 2 х 2 операторная матрица (обобщённая модель Фридрихса) A, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на d-мерной решётке. Отметим, что вопросы, проводящее к изучению спектральных свойств таких операторов, обычно возникают в задачах статистической физики [15], гидродинамики [16] и физики твёрдого тела [17].

Основной целью данной работы является подробное изучение ч.о.з. операторной матрицы A, а точнее:

а) описание структуры множества W (A) при всех размерностях тора Td в терминах матричных элементов операторной матрицы A;

б) выделение случаев, когда множество W(A) замкнуто;

в) нахождение необходимых и достаточных условий для того, чтобы оператор A имел спектр, совпадающий с множеством W(A).

В последующих пунктах мы обсудим вышеуказанные вопросы. При обсуждении вопроса в) используется метод порогового анализа.

Структура работы такова. В пункте 1 даны некоторые основные свойства

4.0. 3. линейного оператора. В пункте 2 операторная матрица A вводится как ограниченный самосопряженный оператор в прямой сумме нуль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства и описана структура ч.о.з. оператора A. В пункте 3 доказано, что если граничные точки существенного спектра оператора A являются его «пороговыми» собственными значениями, то спектр этого оператора совпадает с множеством W(A).

1. Основные свойства числовой области значений линейного оператора.

Обозначим через N, Z, R и C — множество всех натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Всюду в работе под ( ■ , ■) и || ■ || понимаются скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов

Для полноты сначала приведём ряд основных свойств ч.о.з. линейного оператора (вообще говоря, несамосопряженного) A: H ^ H, доказательства которых вытекают непосредственно из определения:

1) если A ограниченный оператор, то

W(A) С (Л е C : |Л| < ||A||>;

2) W(A*) = (Л : Л е W(A)>;

3) W(I) = (1>; если а и в — произвольные комплексные числа, то имеет место

W (aA + в) = aW (A) + в;

4) для самосопряженного оператора A имеет место вложение W(A) С R;

5) если H — конечномерное пространство, то множества W(A) является компактным;

6) если A, B: H^H — унитарно-эквивалентные операторы, то W(A)=W(B);

Определим (см. [18]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора A как

CTapp(A) := (Л е C : 3(ж„>]>0 С D(A), ||ж„|| = 1, (A - Л)ж„ ^ 0, п ^ те>.

Подчеркнём, что последнее множество имеет еще одно название: «ядро спектра» оператора A (см. [19]).

Следующее утверждение устанавливает связь между aapp(A) и W (A):

Следующий пример показывает, что даже для ограниченного самосопряжённого оператора B в гильбертовом пространстве H мы не сможем утверждать, что a(B) С W(B) или W(B) С a(B).

B : I2 ^ I2, Bx = (Ж1,Ж2/2. ,ж„/п. ), ж = (жь ж2. ж„. ) е I2.

Легко проверяется, что

a(B) = (1,1/2. 1/п. > = (0,1,1/2. 1/п. > , W(B) = (0,1].

Остановимся на доказательстве факта 0 е W(B). Допустим противное. Пусть 0 е W(B). Тогда существует ж = (ж1 ,ж2. , жп. ) е 12 такое, что ||ж| = 1 и (Bx, ж) = 0. Имеем

Отсюда следует, что ж = 0. Это противоречит факту ||ж|| = 1. Значит 0 е W(B). Следовательно, в этом случае имеем a(B) С W(B), W(B) С 0"(B).

2. Операторная матрица и обсуждения основных результатов. Пусть Td — d-мерный тор, т.е. куб (—п, n]d с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе Td рассматривается как абелева группа,

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы

в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в Rd по модулю (2nZ)d.

Пусть L2(Td) —гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определённых на Td. Обозначим через H прямую сумму пространств Ho = C и Hi = L2(Td), т.е. H = Ho ®Hi. Пространства Ho и Hi называются ноль-частичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства F(L2(Td)) над L2(Td) соответственно.

Рассмотрим обобщённую модель Фридрихса A = A(w,p), действующую в гильбертовом пространстве H как 2 х 2 блочно-операторная матрица

Aoo АоД Aoi AiJ ,

где матричные элементы Aij: Hj ^ Hi, i ^ j, i,j = 0,1, определяются по формулам

Aoofo = wfo, Aoifi = vW v(s)fi(s)ds, (Anfi)(p) = u(p)fi (p).

Здесь fi g Hi, i = 0,1; w, p G R, p > 0 и u( ■), v( ■) — вещественно-аналитические функции на Td, а Aoi —сопряжённый оператор к Aoi.

Оператор Aoi называется оператором уничтожения, а Aoi называется оператором рождения.

Можно проверить, что при этих предположениях оператор, которому соответствует матрица A, является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве H.

Обозначим через а( ■), aess( ■) и CTdisc( ■) соответственно спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряжённого оператора.

Пусть оператор Ao действует в H как

Оператор возмущения A — Ao оператора Ao является самосопряжённым оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора A совпадает с существенным спектром оператора Ao. Известно, что aess(Ao) = [m; M], где числа m и M определяются следующим образом:

m = min u(p), M = max u(p).

Из последних фактов следует, что

Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов

Пусть Ii — единичный оператор в Hi, i = 1, 2. Чтобы определить дискретный спектр оператора A, наряду с этим оператором рассмотрим ещё оператор S(z) : Ho ^ Ho, который формально определяется следующим образом:

S(z) := Aoo - zIo - A01 (An - zIl)-1Aol, z e C \ [m; M].

Определённый таким образом оператор обычно называется первым комплиментом Шура.

Определим регулярную в C \ [m; M] функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором A):

Тогда S(z) есть оператор умножения в пространстве Ho на функцию A^(w; ■).

Установим связь между собственными значениями операторов A и S(z).

Лемма 1. Оператор A имеет собственное значение z e C \ [m; M] тогда и только тогда, когда оператор S(z) имеет нулевое собственное значение.

Доказательство. Пусть z e C \ [m; M] —собственное значение оператора A и f = (fo,fi) e H — соответствующая вектор-функция. Тогда fo и fi удовлетворяют системе уравнений

j (Aoo - zIo) fo + Aoifi = 0, (2)

\ASifo + (Aii - zIi) fi = 0. ()

Так как z e ^(Aii) = [m; M], оператор Aii - zIi обратим. Следовательно, умножая второе уравнение системы слева на (Aii - zIi)-1, для fi имеем

fi = -(Aii - zIi)Aoifo.

Подставляя последнее выражение для fi в первое уравнение системы (2), получим, что система уравнений (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение S(z)fo = 0 имеет нетривиальное решение. □

Из леммы 1 вытекает, что

ct(A) = [m; M] U Odisc(A).

Надо отметить, что дискретный спектр оператора A играет важную роль при исследовании его ч.о.з.

Лемма 2. Оператор A может иметь не более чем по одному простому собственному значению, лежащему левее m и правее M.

Доказательство леммы 2 вытекает из монотонности и непрерывности функции AM(w; ■) на полуосях (-те; m) и (M; +те), а также леммы 1.

Далее в случае существования собственных значений оператора A обозначим их через Ak(w,^), k = 1, 2. Для определённости предположим, что Al(w,^) < m и A2(w,^) > M.

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы

Пусть N1, N2 £ N — фиксированные числа. На протяжении всей работы будем предполагать, что функция u( ■ ) имеет невырожденный минимум в точках pi £ Td, i = 1,Ni, и невырожденный максимум в точках qj £ Td,

В качестве такой функции u( ■) можно взять

i,(p) = 5^(1 — cos np(k)), p = (p(1). ,p(d)) £ Td, n £ N

Обозначим через N1 = N1(n) и N2 = N2(n) число точек

Pi = (p(1). p(d)) £ Td и qj = (qj1). qj.d)) £ Td, соответственно, для которых

(k) f „ ,2 4 пИ , если n чётное,

p(k) £i 0; ±-п; ±-п;. ; ±—п ^ U J < >’

0, если n нечётное, k = 1, d;

qjk) £<|±1 п; ±3 п;. ; ±— п\ U, .. k id

j 1 n n n I I , если n нечётное, k = 1, d

причём pi = pj, qi = qj при i = j; здесь

n — 2, если n чётное, n — 1, если n чётное,

n — 1, если n нечётное; n — 2, если n нечётное.

Очевидно, что определённая так функция u( ■ ) имеет невырожденный минимум в точках pi £ Td, невырожденный максимум в точках qj £ Td, причём N1 = n, N2 = n — 1. Таким образом, множество значений функций u( ■) совпадает с отрезком [0, 2d].

I. Случай d ^ 3. В дальнейшем через 5, C1, C2 и C3 обозначаются различные положительные постоянные, значения которых не конкретизированы.

Так как функция u( ■ ) имеет невырожденный минимум в точках pi £ Td, i = 1, N1, существуют числа C1, C2, C3 > 0 и 5 > 0 такие, что

Ci|p — pi|2 ^ u(p) — m ^ C2 |p — pi|2, p £ Us (pi), i = 1,Ni; (3)

u(p) — m ^ C3, p £ Ts = Td \[J Us (pi). (4)

Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов

Имеет место равенство

Учитывая неравенства (3) и непрерывность функции v( ■ ) на Td, имеем, что i-тое (i <Е ) слагаемое в правой части (5) оценивается следующим образом:

[ v2(s)ds < C C )d_a Г ds(1)ds(2)ds(3)

Переходя в сферическую систему координат, убедимся, что последний интеграл конечен. Конечность последнего слагаемого в правой части (5), т.е. интеграла по T, вытекает из непрерывности функции v( ■) на Td и неравенства (4). Аналогично показывается, что

/ [ v2(s)ds A-1 /f v2(s)ds \-1

ц0 VJTd u(s) — m) , ц1 VJTd M — u(s) J .

Следующая теорема описывает структуру ч.о.з. оператора A.

Теорема 1. Пусть w < m.

1. Если 0 < ц < (M — w)^1, то верно равенство W(A) = [A1(w,^); M].

2. При ц > (M—w)p1 имеет место'равенство W(A) = [А1 (w,p); \2(w,p)\.

Доказательство. Пусть w < m. Тогда при всех ц > 0 верно неравенство Ap(w; m) < 0. Так как

и функция Ap(w; ■ ) непрерывна и монотонно убывает на полуоси (—те; m), функция Ap(w; ■ ) имеет единственный простой нуль A^w^) в (—те; m). В силу леммы 1 число A 1(w, ц) является единственным простым собственным значением оператора A.

1. Предположим, что 0 < ц < (M — w)^. Простые вычисления показывают, что Ap(w; M) < 0. Теперь из факта

а также из непрерывности и монотонности функции Ap(w; ■ ) на полуоси (M; +те), вытекает, что функция Ap(w; ■) не имеет нулей в (M; +те). В силу

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы

леммы 1 оператор A не имеет собственных значений, лежащих в (M;+ж). Следовательно, в этом случае

Так как замыкание ч.о.з. оператора A есть выпуклая оболочка спектра a(A), то W(A) = [A1 (w,y); M]. Первое утверждение теоремы 1 доказано.

2. Пусть теперь у > (M — w)yi. Рассуждая, как и выше, можно показать, что оператор A имеет единственное собственное значение A2(w,y), лежащее на (M; +ж), т.е.

a(A) = U [m; M] U, Ai(w,y) < m, A2(w,y) > M. Видно, что в этом случае

mA := inf (Af,f) = Ai(w,y), Ma : =sup (Af,f) = A2(w,y). (7)

Значит, W(A) = [Ai(w,y); A2(w,y)]. Покажем, что Ak(w,y) £ W(A), k = 1,2. Пусть gi £ H и g2 £ H — нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям Ai(w,y) и A2(w,y) соответственно. Тогда

f) = (Agi,gi) = Ai(w,y); |m|аx1(Af, f)

Отсюда следует, что Ak(w,y) £ W(A), k = 1,2. Второе утверждение теоремы 1 доказано. □

Из доказательства теоремы 1 вытекает следующее замечание.

Замечание 1. Пусть H — произвольное гильбертово пространство и A : H —У H — произвольный линейный ограниченный самосопряженный оператор. Тогда W(A) = [mA; Ma]. Если дополнительно выполняется условие CTess(A) С (mA; Ma), то W(A) = [mA; Ma]. Здесь числа mA и Ma определены по формуле (7).

Заметим, что в первом утверждение теоремы 1 число M £ aess(A) является предельной точкой множества W(A). Действительно, так как M £ aess(A), по критерию Вейля существует ортонормированная система С H такая, что

Фп := Agn — Mgn — 0, n — ж.

Рассмотрим скалярное произведение (фn,gn):

(фп, gn) = (Agn, gn) — M(gn, gn) = (Agn, gn) — M — 0, n — ж.

Отсюда следует, что M есть предельная точка множество W (A).

Следующие теоремы доказываются аналогично теореме 1.

Теорема 2. Пусть m < w < M.

1. Если у > max , то W(A) = [Ai(w, y); A2(w, y)].

2. Если (w — m)y0 < (M — w)yi и у £ ((w — m)y0; (M — w)yi], то W(A) = [Ai(w,y); M>.

Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов

3. Если (w — ю)ц0 > (M — w)^\ и ц £ ((M — w)^i; (w — m)^\, то W(A) = [m; Л2(w, ц)\. _____

Замечание 2. Если (w — m)^0 = (M — w)^1 = ц01, т.е. если

то при ц > ц01 имеем случай первого утверждения, а при 0 < ц ^ ц01 случай четвёртого утверждения теоремы 2.

Теорема 3. Пусть w ^ M.

1. Если 0 < ц ^ (w—m)ц0, то имеет место'равенство W(A)=[m; Л2(w,^\.

2. При ц> (w — m)^ верно равенство W(A) = [Л1 (w,p); Л2^,ц)\.

II. Случай d = 1, 2. Предположим, что v(pi) = 0 и v(qj) = 0 при некотором i £ и j £ соответственно. Тогда существуют числа C1 > 0 и 8 > 0 такие, что

|v(p)| ^ C1, p £ Us (pi) U U& (qj). (8)

Учитывая (3), (8), имеем

Jtd u(s) — m " 1 Jus(0) |s|2.

При d = 1 расходимость последнего интеграла очевидна, а при d = 2, переходя в полярную систему координат, убеждаемся, что последний интеграл расходится. Аналогично доказывается расходимость интеграла (6) при d=1, 2. Тогда при всех значениях параметров w и ц верно

lim AJw; z) = —ж, lim A„(w; z) = +ж.

lim Aa(w; z) = +ж, lim A„(w; z) = —ж

и функция A^(w; ■) непрерывна и монотонно убывает на полуосях (—ж; m) и (M; +ж), при всех w и ц оператор A имеет два собственных значения, которые мы обозначили через Лк(w, ц), к = 1,2, причём Л1^, ц) < m, Л2(w, ц) > M. В силу замечания 1 для ч.о.з. оператора A имеет место равенство

Пусть v(pi) =0, i £ и v(qj) =0, j £ . Тогда существуют числа C1 ,C2 > 0, ai,Pj £ N и 8 > 0 такие, что при всех d £ N имеет место

C1|p — pilai ^ |v(p)| ^ C2 |p — pi |ai, p £ Us (pi), i = 1, N1;

C1IP — qj |e' < |v(p)| ^ C2 |p — qj |e', p £ Us (qj), j = 1, N2.

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы

Теперь, применяя (3), (4) и (9), а также используя непрерывность функции v( ■) на Td, имеем