7 класс. 4. Разрежьте фигуру на 4 равные части по площади и по форме. Ответ.

1 6 класс. Олег написал на доске трехзначное число, Егор приписал к нему слева цифру 5, в результате чего число Егора оказалось в 9 раз больше, чем число Олега. Какое число написал Олег? Ответ: 65 Указание: x = 9x; x = 65.. Петя идет от дома до школы 30 мин, а его брат Саша 40 мин. Через сколько минут Петя догонит Сашу, если Саша вышел из дома на 5 минут раньше Пети? Ответ: 0 мин. Указание: На весь путь от дома до школы Петя тратит на 0 мин меньше брата. Значит, на половину пути он потратит на 5 мин меньше и встретится с Сашей ровно на половине пути от дома до школы. 3. За столом сидело несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Путешественник спросил каждого про его ближайших соседей. Каждый ответил: «У меня оба соседа лжецы». Путешественник сказал: «Если бы вас было на одного больше или на одного меньше, я бы смог узнать, сколько среди вас рыцарей. А так не могу». Каким наименьшим могло быть количеством человек за столом? Ответ: 6. Указание. Рыцари (Р) могут сидеть за столом только по одному между двумя лжецами (Л), а лжецы либо по одному, либо по двое. Поэтому трое, четверо и пятеро сидящих могут расположиться единственным образом: ЛРЛ, РЛРЛ, ЛЛРЛР. Шестеро сидящих могут расположиться двумя способами: РЛЛРЛЛ, РЛРЛРЛ. 4. Квадрат разделен на 36 маленьких квадратов. Разрежьте его по линиям сетки на прямоугольники так, чтобы в каждом из них оказалось ровно одно из указанных чисел. Это число должно равняться количеству квадратов, попавших в этот прямоугольник Ответ:

2 7 класс. Используя не более 6 цифр из,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 06. Каждую цифру можно использовать не более одного раза; цифры можно объединять в числа. Ответ: (68-9)*3, 53* Книжный магазин при продаже книги сделал скидку в 0% с первоначально намеченной цены и при этом все же получил 8% прибыли. Сколько процентов прибыли предполагал первоначально получить магазин при продаже книги? Ответ: 0% Указание. 90:00 = 08:х; х = Два школьника, живущие в одном доме, одновременно вышли из дома в школу. Первый из них половину всего времени, затраченного на дорогу, шел со скоростью 5 км/ч, а затем шел со скоростью 4 км/ч. Второй же первую половину всего пути от дома до школы шел со скоростью 4 км/ч, а вторую со скоростью 5 км/ч. Который из школьников пришел в школу раньше? Ответ: Первый. 4. Разрежьте фигуру на 4 равные части по площади и по форме Ответ.

3 8 класс. У двух книжных магазинах имеется в продаже одна и та же книга. Через неделю в первом магазине цены на эту книгу были снижены на 0%, а еще через неделю подняты на 0%. Во втором магазине через две недели цены на книгу были увеличены на 0%. В каком из магазинов через две недели цены на книгу стали ниже? Ответ: В первом. Указание. В первом магазине через две недели 90 0, а во втором магазине через две недели 0 х, х 00 х, 08х Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя подписал под каждым из Васиных чисел его квадрат. После чего Маша сложила все числа, написанные на доске, и получила 07. Верно ли, что кто-то из ребят ошибся? Ответ: Да. Указание. Предположим, что никто из ребят не ошибся. Если Вася написал числа х, х,, х n, то Петя должен был написать числа х, х. хn. Маша должна была посчитать сумму S x x. xn х х. хn ( x х ) ( x х ). ( xn хn ). Заметим, что если число a целое, то число a + а = а(а + ) четное. Значит, S сумма четных чисел, то есть четное число не может равняться В треугольнике ABC известно, что А = 5 0, В = Отрезок СМ перпендикулярен к стороне АС и делит сторону АВ на отрезки АМ и МВ. Найдите отношение отрезков АМ и ВС. Ответ: АМ : ВС =. Указание. Отметим на АМ такую точку О, что АСО = 5 0. Тогда АО = ОС, СОМ = 30 0 = В; ОС = СВ; ОСМ = = 75 0 = ОМС; ОС = ОМ. Значит, АМ = ОС = ВС. 4. В клетках шахматной доски произвольным образом расставлены все натуральные числа от до 64. Верно ли, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше, чем на 9? Ответ: Верно Указание. Предположим противное: разность между числами, стоящими в любых двух соседних по стороне или вершине клетках, не превышает 8. Заметим, что расстояние между любыми двумя клетками не превышает семи «ходов короля». Поэтому разность между числами в любых двух клетках по предположению не превышает 7*8 = 56. Но разность 64 = 63 > 56. Полученное противоречие доказывает, что предположение ложно и найдутся два числа в соседних клетках, отличающиеся не менее, чем на 9.

4 9 класс. При каких значениях параметра а уравнения x ax 0 и x x a 0 имеют общий корень? Ответ: -.. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60 % мальчиков сосед по парте тоже мальчик, а у 0% девочек соседка по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки? Ответ: 00/3 % Указание. Пусть m мальчиков, n девочек. Число мальчиков, сидящих с девочками, равно числу девочек, сидящих с мальчиками, то есть ( 0,6) m = ( 0,) n; 0,4 m = 0,8 n; m = n. Девочки составляют n/(m + n) 00% = n/(n + n) 00% = 00/3%. 3. В равнобедренном треугольнике ABC В = Внутри треугольника взята такая точка М, что МАВ = 0 0, МВА = 0 0. Найдите ВМС. Ответ: Указание. Углы при вершине В 80 0 и 0 0. Комбинация углов = 60 0 указывает на построение равностороннего треугольника MDB. Треугольники ABM и CBD равны. МАВ = DCB, CDB = 50 0, МDC = 50 0, тогда треугольники BDC и МDC равны. CМD = CBD = 0 0, ВМС = = Сергей записал в клетки таблицы натуральные числа от до. Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4? Ответ: Верно. Указание. Предположим, что Олег не сможет выбрать две требуемые клетки. Заменим все числа на их остатки при делении на 4. Тогда в таблице стоит 484 числа, то есть 0,, и 3 повторится по разу. Разобьем таблицу на табличку. В каждой такой табличке может стоять не более одного нуля и не более одной двойки. Но так как количество табличек равно количеству нулей и количеству двоек, то в каждой табличке стоит ровно один ноль и ровно одна двойка. Заметим, что в каждой табличке два оставшихся числа оба должны быть либо единицами, либо тройками. Но тогда количество единиц или троек четно, однако их противоречие.

5 0 класс. Составьте квадратное уравнение с корнями (a + b) и (a b), если a и b корни уравнения x + px + q = 0. Ответ: х + (4q p )x + (p 4 4p q) = 0. В параболу y = x вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника принадлежат параболе), гипотенуза которого параллельна оси Ох. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу. Ответ: Указание. Пусть А(-х, х ), В(х, х ), С(х, х ) вершины треугольника АВС. АСВ = Точка С принадлежит окружности с диаметром АВ. Ее уравнение х ( y x ) x, поэтому х ( х x x, откуда х x ( 0), то есть х х =. ) 3. Пусть точка Н ортоцентр (точка пересечения высот) остроугольного треугольника АВС. Известно, что АН = ВС. Найдите ВАС. Ответ: Указание. ВК высота, проведенная к стороне АС. Треугольники AHK и BCK равны (АН = ВС, KАH = KBC = 90 0 C), тогда АК = ВК, значит, прямоугольный треугольник АКВ равнобедренный и ВАС = В таблицу 4 4 записали натуральные числа. Верно ли, что сумма чисел в каждой следующей строке на больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем? Ответ: Нет. Указание. Пусть S сумма чисел в первой строке, S сумма чисел в первом столбце. Сумма по строкам S + (S + ) + (S + 4) + (S + 6) = 4 S + = 4(S + 3). Сумма по стобцам S + (S + 3) + (S + 6) + (S + 9) = 4 S + 8 = 4(S + 4) + Первая сумма делится на 4, а вторая нет.

6 класс. Решите уравнение x 3 + x + 0у = 06 в натуральных числах Ответ: нет решений в натуральних числах. Указание. Рассмотрим остатки по модулю 0 выражений х 3, 0у и (x 3 + x + 0у) х х у x 3 + x + 0у Значит в остатке по модулю 0 выражение дает либо 0, либо, либо 8, что не равно 6. Значит в натуральних числах нет решений.. В некоторой компании 00 акционеров, и любые 66 из них вместе владеют не менее, чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом все акций может владеть один акционер? Ответ: 5% Укзание. Пусть М акционер, владеющий наибольшим процентом акций: х%. Разобьем остальных 99 акционеров на три группы А, В и С по 33 акционера. Пусть они владеют соответственно a, b и c процентами акций. Тогда (00 х) = (a + b + c) = (a + b) + (b + c) + (a + c) , то есть х 5. Если каждый из 99 акционеров, кроме М, владеет 75 5 % акций, то любые 66 из них владеют 50%, а у М ровно 5 % акций. 3. Выразите величину a sin B b sin A через S, где S площадь треугольника АВС; a, b стороны треугольника АВС; A, B величины внутренних углов треугольника АВС, лежащих против сторон треугольника a и b соответственно. Ответ: 4S Указание. a sinb + b sina = a sinb cosb + b sina cosа = a b sin A sin B = ab( sin BcosB sin Acos A) = ab( sin BcosB sin Acos A) = b a sin B sin A absin C = ab sin(a+b) = ab sinc = 4 = 4S. 4. Пусть на плоскости дана сетка и выбраны произвольно 5 точек в узлах этой сетки. Верно ли, что найдется отрезок, концы которого лежат в выбранных узлах, а его середина также узел этой сетки? Ответ: Верно. Указание. Помещаем сетку в координатную плоскость. Узлы точки на координатной плоскости с целочисленными координатами. Точек 5, а возможно всего 4 случая комбинации координат точки: (чет; чет), (чет; нечет), (нечет; чет), (нечет; нечет). По принципу Дирихле найдутся две точки с одинаковой четностью координат. Поскольку координаты середины отрезка выражаются полусуммой соответствующих координат концов отрезка, получаем, что координаты середины отрезка целые числа. Значит, середина этого отрезка является узлом сетки

7 класс 7 Несколько гномиков несли конфеты своему вождю Шмебулоку По дороге каждый гномик украл и съел по одной конфете у каждого другого В результате Шмебулоку принесли только 53 конфеты Сколько конфет