Арифметические свойства конечных пределов последовательностей

Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей < xn > и < yn > . Тогда существуют пределы суммы, разности и произведения последовательностей, которые равны, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Если b ≠ 0 и yn ≠ 0 для всех n , то существует предел частного последовательностей, равный частному пределов: (1) ; Доказательство ⇓ (2) ; Доказательство ⇓ (3) , если и ; Доказательство ⇓ (4) . Доказательство ⇓ Здесь C – постоянная, то есть заданное число.

Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Подобные свойства имеются и когда предел одной из последовательностей равен бесконечности. Ниже мы приводим эти свойства. Их доказательство изложено на странице «Свойства бесконечно больших последовательностей».

Пусть существуют пределы и числовых последовательностей и . Причем . И пусть последовательность бесконечно малая: , а последовательность бесконечно большая: . Тогда существует пределы суммы и разности: ; существуют пределы произведений: ; существуют пределы частного: при , при .

Эти свойства выполняются и в случае, если последовательности и не имеют пределов. При этом последовательность должна быть ограниченной: , а абсолютные величины элементов последовательности должны быть ограничены снизу положительным числом: .

Доказательство арифметических свойств

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности: .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε 1 выполняется неравенство: (5) при .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε 2 выполняется неравенство: (6) при .

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . Тогда существуют пределы суммы и разности последовательностей < xn ± yn > , и они равны сумме и разности их пределов: (1) .

Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство: (1.1) при . При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .

Воспользуемся известным неравенством . Преобразуем модуль разности в (1.1) и применим (5) и (6): . Последнее неравенство справедливо при и . Положим . Тогда, при и , . Пусть, при заданном ε , есть наибольшее из чисел и . Тогда при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство: (1.1) при . Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности . Свойство доказано.

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Тогда существует предел произведения последовательностей < xn· yn > , и он равен произведению их пределов: (2) .

Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство (2.1) при . При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6): (5) при ; (6) при .

Преобразуем модуль разности в (2.1), применяя свойства неравенств: . Поскольку последовательность имеет конечный предел, то она ограничена некоторым положительным числом My : (см. Основные свойства пределов последовательностей). Применим (5) и (6). Тогда . Положим . Тогда при и , . Пусть, при заданном ε , есть наибольшее из чисел и . Тогда при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство: (2.1) при . Это и означает, что число является пределом последовательности . Свойство доказано.

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C . Тогда постоянную C можно выносить за знак предела: (4) .

Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все элементы которой равны числу C : . Предел этой последовательности равен этому числу: (см. Основные свойства пределов последовательностей).

Применим свойство произведения последовательностей: . Свойство доказано.

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Причем и для всех n . Тогда существует предел частного последовательностей < xn / y > , и он равен частному их пределов: (3) .

Для доказательства свойства частного (3), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство: (3.1) при . При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6): (5) при ; (6) при .

Преобразуем модуль разности в (3.1), применяя свойства неравенств: . Тем самым мы получили следующую оценку: (3.2) .

Сделаем оценку для . Подставим в (6) : при . Заметим, что есть расстояние между точками и на числовой прямой. Поскольку расстояние между точками и равно а расстояние между точками и меньше : , то расстояние между точками и больше : , или . Это неравенство можно получить и другим способом. Применяя свойства неравенств и соотношение имеем: ; ; . Итак, мы нашли, что при , где . Тогда (3.3) при .

Подставим (5), (6) и (3.3) в (3.2): . Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств: . Подставим , . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство (3.1) при . Это и означает, что число a/b является пределом последовательности . Свойство доказано.

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по абсолютной величине. Тогда .

Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство: при . При этом у нас есть функция , при которой выполняется неравенство (5): (5) при .

Воспользуемся известным неравенством: и применим (5): . Последнее выполняется при . То есть мы можем взять .