Двоичное число: прямой, обратный и дополнительный коды

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа - способы представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной (микроконтроллерной) арифметике, предназначенные для записи отрицательных и неотрицательных чисел

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде. Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Прямой код - способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой. Главным образом используется для записи неотрицательных чисел

Прямой код используется в двух вариантах. В первом (основной) - для записи только неотрицательных чисел:

В этом варианте (для восьмибитного двоичного числа) мы можем записать максимальное число 255 (всего чисел 256 - от 0 до 255)

Второй вариант - для записи как положительных, так и отрицательных чисел. В этом случае старший бит (в нашем случае - восьмой) объявляется знаковым разрядом (знаковым битом). При этом, если: - знаковый разряд равен 0, то число положительное - знаковый разряд равен 1, то число отрицательное

В этом случае диапазон десятичных чисел, которые можно записать в прямом коде составляет от - 127 до +127:

Подводя итоги вопроса, не влезая в его дебри, скажу одно: Прямой код используется главным образом для представления неотрицательных чисел. Использование прямого кода для представления отрицательных чисел является неэффективным - очень сложно реализовать арифметические операции и, кроме того, в прямом коде два представления нуля - положительный ноль и отрицательный ноль (чего не бывает):

Обратный код

Обратный код - метод вычислительной математики, позволяющий вычесть одно число из другого, используя только операцию сложения. Обратный двоичный код положительного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) - двоичной цифры 0, за которым следует значение числа. Обратный двоичный код отрицательного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) - двоичной цифры 1, за которым следует инвертированное значение положительного числа.

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде. Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1). Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

При 8-битном двоичном числе - знаковый бит (как и в прямом коде) старший (8-й)

Диапазон десятичных чисел, который можно записать в обратном коде от -127 до + 127

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

1-й пример (для положительного результата) Дано два числа: 100 = 0110 0100 -25 = - 0001 1001 Необходимо их сложить: 100 + (-25) = 100 - 25 = 75

1-й этап Переводим число -25 в двоичное число в обратном коде: 25 = 0 001 1001 -25= 1 110 0110 и складываем два числа: 0 110 0100 (100) + 1 110 0110 (-25) = 1 0 100 1010, отбрасываем старшую 1 (у нас получился лишний 9-й разряд - переполнение), = 0 100 1010 2-й этап Отброшенную в результате старшую единицу прибавляем к результату: 0 100 1010 + 1 = 0 100 1011 (знаковый бит = 0 , значит число положительное), что равно 75 в десятичной системе

2-й пример (для отрицательного результата) Дано два числа: 5 = 0000 0101 -10 = - 0000 1010 Необходимо их сложить: 5 + (-10) = 5 - 10 = -5

1-й этап Переводим число -10 в двоичное число в обратном коде: 10 = 0 000 1010 -10= 1 111 0101 и складываем два числа: 0 000 0101 (5) + 1 111 0101 (-10) = 1 111 1010 (знаковый бит = 1 , значит число отрицательное)

2-й этап Раз результат получился отрицательный, значит число представлено в обратном коде. Переводим результат в прямой код (путем инвертирования значения, знаковый бит не трогаем): 1 111 1010 ----> 1 000 0101 Проверяем: 1 000 0101 = - 0000 0101 = -5

Обратный код решает проблему сложения и вычитания чисел с различными знаками, но и имеет свои недостатки: - арифметические операции проводятся в два этапа - как и в прямом коде два представления нуля - положительный и отрицательный

Дополнительный код

Дополнительный код - наиболее распространенный способ представления отрицательных чисел. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел.

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Диапазон десятичных чисел которые можно записать в дополнительном коде от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде та-же, что и в прямом и обратном кодах.

Дополнительный код отрицательного числа можно получить двумя способами 1-й способ: - инвертируем значение отрицательного числа, записанного в прямом коде (знаковый бит не трогаем) - к полученной инверсии прибавляем 1 Пример: Дано десятичное число -10 Переводим в прямой код: 10 = 0 000 1010 ----> -10 = 1 000 1010 Инвертируем значение (получаем обратный код): 1 000 1010 ----> 1 111 0101 К полученной инверсии прибавляем 1: 1 111 0101 + 1 = 1 111 0110 - десятичное число -10 в дополнительном коде

2-й способ: Вычитание числа из нуля Дано десятичное число 10, необходимо получить отрицательное число (-10) в дополнительном двоичном коде Переводим 10 в двоичное число: 10 = 0 000 1010 Вычитаем из нуля: 0 - 0000 1010 = 1 111 0110 - десятичное число -10 в дополнительном коде

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Дано: необходимо сложить два числа -10 и 5 -10 + 5 = -5 Решение: 5 = 0000 0101 -10 = 1111 0110 (в дополнительном коде) Складываем: 1111 0110 + 0000 0101 = 1111 1011, что соответствует числу -5 в дополнительном коде

Как мы видим на этом примере - дополнительный код отрицательного двоичного числа наиболее подходит для выполнения арифметических операций сложения и вычитания отрицательных чисел.

Вывод: 1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода 2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода