Рабочая тетрадь «Практикум по решению задач. Задача № 19(базовый уровень)»

Рабочая тетрадь предназначена для организации самостоятельной работы по математике обучающихся 11 класса на базовом уровне при подготовке к единому государственному экзамену. Содержит задачи и упражнения, выполнение которых позволит получить системные знания по решению задач на делимость чисел, повысить математическую грамотность и культуру обучающихся.

Рабочая тетрадь

Практикум по решению задач

(базовый уровень)

Глава I Понятие делимости. Признаки делимости

Теоретический материал

abc = 100a + 10b + c

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Пример: 2345 = 1000·2 + 100·3 + 10·4 + 5

Число n называется кратным некоторому натуральному числу m, если оно нацело делится на m. При этом говорят, что n кратно m.

Признаки делимости

Число делится на 2, если оно заканчивается четной цифрой или нулём.

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится.

Число делится на 7, если разность — это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра — делится на 7.

abc делится на 7, если ab – 2c делится на 7

343 делится на 7, так как 34-6= 28 делится на 7

Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях - не делится.

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три последние цифры нули.

Если нужно выяснить, делится ли заданное число на некоторое составное число, необходимо разложить это составное число на множители (признаки которых вам известны) и проверить делимость исходного числа на эти множители.

Если число делится на 27, то это число должно делиться на 9 и 3

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Если некоторое число делится на другое, а это другое - на третье, то и первое число делится на третье.

Задача №1. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9.

Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3.

Заметим, что, если число делится на 9,то оно делится и на 3.

Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти. Девять делится на девять.

Задача №2. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Если число делится на 30, то оно также делится на __ и на __.

Поэтому в последнем разряде числа должен быть __.

Тогда вычёркиваем __. Остаётся _______.

Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём, значит, нужно вычеркнуть цифру __ или цифру __.

Таким образом, получаем числа ______, _______ и ________

Ответ: _______, _______ или ________.

Задача №3. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8.

Перебрав трёхзначные числа из 1 и 2, получим, что только 112 делится на 8. Это число образует последние три цифры искомого числа.

Последние три цифры 112 дают в сумме 4.

Рассмотрим первые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6.

Условиям задачи удовлетворяет сумма цифр, равная 5.

Троек с данной суммой цифр три: 122, 212, 221.

Таким образом, подходят числа: 122112, 212112, 221112.

Ответ: 122112, 212112, 221112.

Задача №4. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Чтобы число делилось на ___ оно должно делится на __ и на ___.

Число делится на __, если три его последние цифры образуют число, делящееся на ___. Искомое число записывается только ______ и _______, значит, оно заканчивается на 000.

Число делится на __, если его сумма цифр числа делится на __. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть ________.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число ______.

Ответ: _______.

Задача №5. Найдите четырехзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению

Пусть число – аbcd, тогда а+b+c+d=a·b·c·d

Так как аbcd делится на 4, то (10c+d) делится на 4 и d – четное.

Среди цифр a, b, с и d не может быть трех единиц, 1+1+1+d=d –равенство невозможно

Среди цифр a, b, с и d не может быть только одна единица, 1+b+c+d=b·c·d –равенство невозможно

Среди цифр a, b, с и d две единицы

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24

Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4

Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может

3-е равенство верное

Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Ответ: 4112, 1412, 1124

Задача №6. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа.

Пусть аbcd – dcba=2457

d= 0 или d=5, т.к. число кратно 5

d=0 – не подходит, иначе второе число трехзначное

Ответ: 8405

Задача №7. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50.

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно __ и кратно __

Последняя цифра : d= __ или d= __

d= __ не подходит, иначе произведение цифр = __

Произведение цифр кратно 5, а значит равно __

Ответ: ______

Задача 8. Приведите пример трехзначного числа, обладающего следующими свойствами:

сумма цифр числа А делится на 6;

сумма цифр числа А + 3 делится на 6.

число А больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть наше число имеет вид 3yz. Если z z » 7

Рассмотрим два случая.

1) y=9: 39z перейдёт в 40(z-7), сумма цифр изменится на 15.

2)y : 3yz перейдёт в 3(y+1)(z-7) , сумма цифр изменится на 6.

Во втором случае сумма цифр будет отличаться на 6, то есть также будет делиться на 6.

Таким образом, искомые числа: 369, 378, 387.

Ответ 369, 378, 387.

Задача 9. Найдите четырехзначное число, которое в три раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить четвертую степень какого-нибудь натурального числа на 3. Если четвертая степень натурального числа делится на 3, то само число тоже делится на 3.

Возьмем, например, число 9. 9 4 =6561.6561:3=2187 .

Итак, четырехзначное число 2187 в 3 раза меньше, чем 6561.

Задача 10. Найдите четырехзначное число, которое в 15 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить куб какого-нибудь натурального числа на 15. Если куб натурального числа делится на 15, то само число тоже делится на 15.

y=х 3 : 15, х 3 = 15y

x =30, х 3 = 27000, y = 2700: 15= 1800

x =45, х 3 = 91125, y = 91125: 15= 6075

Задача 11. Найдите четырехзначное число, которое в 9 раз меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить четвертую степень какого-нибудь натурального числа на 9. Если четвертая степень натурального числа делится на 9, то само число делится на__.

Возьмем, например, число 9. 9 4 =6561.6561:9=729 . Не подходит, т.к. 729 трехзначное число.

Возьмем, например, число __. __ 4 =_____. ______:9= _____.

Возьмем, например, число ___. ___ 4 =_____. ______:9= _____.

Возьмем, например, число 18. 18 4 =104976.20736:9= 11664. Не подходит, т.к. 11664 пятизначное число.

Итак, ______ или _____

Решите самостоятельно:

Задача 12. Приведите пример трехзначного числа, обладающего следующими свойствами:

сумма цифр числа А делится на 7;

сумма цифр числа А + 2 делится на 7.

число А больше 300 и меньше 350.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ_______

Задача 13. Найдите четырехзначное число, большее 3500, но меньшее 5500, которое делится на 40 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ_______

Задача №14. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 6 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ_______

Задача 15. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число.

Ответ_______

Задача 16. Найдите четырехзначное число, которое в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ_______

Глава II Деление с остатком

Теоретический материал

Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r таких, что a=bq+r, где 0 « r b