ЕГЭ Математика Задача B7 Значения выражений

2 ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ С. А. Шестаков ЕГЭ Математика Задача B7 Значения выражений Рабочая тетрадь Издание пятое, стереотипное Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко Издание соответствует Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС) Москва Издательство МЦНМО 2014

3 УДК 373:51 ББК 22.1я72 Ш51 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ Математика. Задача B7. Значения выражений. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. 5-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, с. ISBN Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике в 2014 году. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Значения выражений». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС). ББК 22.1я72 Приказом 729 Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования включен в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе. ISBN ШестаковС.А.,2014. МЦНМО,2014.

4 От редакторов серии Прежде чем вы начнете работать с нашими тетрадями, мы хотим дать вам некоторые пояснения и советы. Экзаменпо математике в 2014 году состоит из двух частей: в первой части 14 простых задач, в которых требуется краткий ответ (В1 В14); во второй части 6 более сложных задач, требующих развернутого решения (С1 С6). Рабочие тетради B1 B14 организованы в соответствии со структурой первой части экзамена 2014 года и позволят вам подготовиться к выполнению всех заданий этой части, выявить и устранить пробелы в своих знаниях. Тем из вас, для кого главное это набрать минимальный аттестационный балл, мы рекомендуем ориентироваться на устойчивое, безошибочное решение 8 заданий из первой части. (Хотя в реальности минимальное число заданий, которое нужно решить верно, может составить 5 или 6, но ведь вам нужно заcтраховаться от случайной ошибки!) Эти 8 (или больше) заданий нужно выбрать исходя из того, что вы хорошо понимаете их условия, вам знаком материал и в школе вы хорошо справлялись с аналогичными заданиями (не обязательно в курсе математики 11 класса, а на протяжении всего обучения). При этом следует в первую очередь уделять внимание тем заданиям, которые у вас уже получаются, добиваясь максимально надежного их выполнения, не ограничивая себя временем. Те из вас, кто ориентируется на поступление в вуз, конечно, понимают, что им желательно с высокой надежностью решать все задачи части В ведь на решение такой задачи и вписывание ответа в лист на экзамене уйдет меньше времени, чем на задачу части С, и жалко будет, если вы ошибетесь и потеряете нужный балл. Вам следует добиваться уверенного выполнения всех заданий первой части, большее внимание уделяя тем задачам, которые вызывают наибольшие затруднения. Устранение пробелов в ваших знаниях поможет вам и в работе с заданиями части С. Определив время, за которое вы можете уверенно без ошибок выполнить все задания первой части, следует планировать оставшееся время на экзамене на задания второй части. Работу с тетрадью следует начать с выполнения диагностической работы. Затем рекомендуется прочитать решения задач и сравнить свои решения с приведенными в книге. По тем задачам, которые вызвали затруднения, следует после повторения материала по учебнику или с учителем выполнить тематические тренинги. Для завершающего контроля готовности к выполнению заданий соответствующей позиции ЕГЭ служат диагностические работы, приведенные в конце тетради. Работа с серией рабочих тетрадей «ЕГЭ Математика» позволит выявить и в кратчайшие сроки ликвидировать пробелы в знаниях, но не может заменить систематического повторения (изучения) курса математики! Желаем успеха! 3

5 Введение Это пособие предназначено для подготовки к решению задач по теме «Значения выражений» и, в частности, задачи В7 Единого государственного экзамена по математике. Задача В7 представляет собой задачу на вычисление значения числового или буквенного выражения (в последнем случае при данном значении переменной). Получение ответа практически в любой задаче ЕГЭ по математике связано с вычислениями, преобразованиями, нахождением значений числовых и буквенных выражений. Умение правильно и достаточно быстро считать, знание алгоритмов решения основных типов задач по теме является существенным фактором успешной сдачи экзамена. Для того чтобы подготовку к ЕГЭ сделать максимально эффективной, в пособие включены задания, соответствующие всем шести функционально-числовым линиям школьного курса: целые числа, степени с натуральным показателем, целые рациональные выражения, дроби, степени с целым отрицательным показателем, дробно-рациональные выражения, корни, степени с дробным показателем, иррациональные выражения, тригонометрические выражения, степени с действительным показателем, показательные выражения, логарифмы и логарифмические выражения. Здесь под иррациональным выражением понимается выражение, содержащее переменную под знаком корня n-й степени; под показательным выражением понимается выражение, содержащее переменную в показателе степени некоторого числа. Такое построение пособия позволит, с одной стороны, выявить существующие пробелы и проблемные зоны в подготовке с целью их устранения и выработки устойчивых навыков решения несложных задач на вычисление и преобразование, а с другой использовать комплексный подход при организации и проведении обобщающего повторения. Пособие включает 6 диагностических и 12 тренировочных работ, а также разбор задач первой диагностической работы с необходимыми методическими рекомендациями. Каждая диагностическая работа содержит 12 заданий (по два на каждую из шести функционально-числовых линий школьного курса в соответствии с указанным выше порядком). При этом первое из двух заданий каждой пары является заданием на вычисление значения числового выражения, второе заданием на вычисление значения буквенного выражения при данном значении переменной. Каждая тренировочная работа соответствует одному из заданий диагностической работы и содержит 10 задач для выработки или закрепления навыков решения по каждому типу заданий. В начале работы с пособием целесообразно выполнить первую диагностическую работу, определить, какие задачи вызывают затруднения, и обратиться при необходи- 4

6 Введение мости к разбору задач. После этого нужно потренироваться в решении задач каждого типа, выполнив тренировочные работы. Для завершения подготовки следует обратиться к диагностическим работам 1 5 и постараться решить их без ошибок. Желательно, чтобы время решения любой из диагностических и тренировочных работ не превышало минут. Подчеркнем, что в пособии рассматриваются только задания, в основном отвечающие по уровню сложности заданию В7 ЕГЭ по математике. Умение решать такие задачи является базовым: без него невозможно продвинуться в решении более сложных задач. Часть включенных в пособие задач несколько (но не существенно) сложнее задачи В7 демоверсии: их решение позволит нарастить определенную «математическую мускулатуру» и чувствовать себя на экзамене застрахованным от неприятных неожиданностей. При подготовке к решению задач части I Единого государственного экзамена нужно помнить следующее. Проверка ответов осуществляется компьютером после сканирования бланка ответов и сопоставления результатов сканирования с правильными ответами. Поэтому цифры в бланке ответов следует писать разборчиво и строго в соответствии с инструкцией по заполнению бланка (с тем чтобы, например, 1 и 7 или 8 и В распознавались корректно). К сожалению, ошибки сканирования полностью исключить нельзя, поэтому если есть уверенность в задаче, за которую получен минус, нужно идти на апелляцию. Ответом к задаче может быть только целое число или конечная десятичная дробь. Ответ, зафиксированный в иной форме, будет распознан как неправильный. В этом смысле задание В7 не является исключением: если результатом вычислений явилась обыкновенная дробь, например 3, то перед записью ответа 4 в бланк ее нужно обратить в десятичную, т. е. в ответе написать 0,75. Каждый символ (в том числе запятая и знак «минус») записывается в отдельную клеточку, как это показано на полях пособия. 5

7 Ответы: Диагностическая работа Найдите значение выражения : Найдите значение выражения (2x 5)(2x + 5) 4x 2 + 3x 5 при x = Найдите значение выражения , Найдите значение выражения a 23 a 8 a 16 при a = 0, Найдите значение выражения Найдите значение выражения b 1 5 b 9 10 при b = Найдите значение выражения 2 22 sin11 cos 11 sin Найдите tg β, еслиsinβ = 3 10 и β π 2 ; π Найдите значение выражения Найдите значение выражения если g(x) = 8 x. g(x 9) g(x 11), 6

8 Диагностическая работа Ответы: 11. Найдите значение выражения log Найдите значение выражения 12 log a (ab 3 ), если log b a =

9 Действия с целыми числами, натуральными степенями и целыми рациональными выражениями. Решения задач 1 и 2 диагностической работы Две первые задачи каждой диагностической работы связаны с арифметическими действиями над целыми числами и натуральными степенями. Если какая-то из них решена неправильно или вызвала затруднение, следует повторить по учебнику или справочному пособию следующие темы: арифметические действия с целыми числами, формулы квадрата суммы и квадрата разности двух чисел: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, формула разности квадратов двух чисел: (a b)(a + b) = a 2 b 2, произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями: a n a m = a n+m, a n a m = a n m, 1 a n = a n, произведение и частное степеней с одинаковыми показателями: a n b n = (ab) n a, n a n, = b n b возведение степени в степень: (a n ) m = a nm. Часто в задачниках и на экзаменах встречаются вычислительные примеры, в которых легко запутаться, если не увидеть простой «ключ». Таким ключом иногда являются обычные распределительные свойства: (a + b)c = ac + bc, (a + b) :c = a : c + b : c. Ин ыми словами, если удается н айти общий множитель двух слагаемых, его нужно вынести за скобку. В качестве примера найдем значение выражения Вынесем за скобку общий множитель: 123( ) = = 10 (123 23) = = = Как видим, все действия производятся в уме. Рассмотрим еще один пример, в котором рациональные вычисления позволяют получить ответ буквально за минуту. 8

10 Решения задач 1 и 2 диагностической работы Найдем значение выражения Данное выражение равно ( ) ( ) 501. Раскрыв скобки, получим: Очевидно, сумма последних четырех слагаемых равна нулю. Поэтому искомое значение равно = Иногда встречаются вычислительные задачи, ключ к решению которых состоит в применении одной или нескольких формул сокращенного умножения. В большинстве случаев числа, используемые в задачах, многозначные. Это сделано для того, чтобы исключить непосредственное вычисление, но именно это позволяет предположить, что способ вычисления не зависит от самих чисел. В таких задачах удобно бывает заменить какое-нибудь число или два числа переменными, затем выполнить упрощения в общем виде и снова перейти к числам. Найдем, например, значение выражения Заметим, что числа и отличаются на единицу от числа Это наводит на мысль заменить на a. Тогда = a 1, = a + 1. Получаем выражение a 2 (a 1)(a + 1). Применим формулу разности квадратов: a 2 (a 2 1) = a 2 a = 1. Ответ 1 не зависит от значения a, поэтому в данном случае даже не придется делать обратную замену. При решении задач на действия со степенями обычно достаточно применить одну из двух следующих «инструкций»: привести степени к одному основанию (в этом случае основания степеней сами должны быть степенями некоторого числа), привести степени к одному показателю (в этом случае основания степеней обычно являются равными или отличающимися на несколько единиц числами). 1. Найдите значение выражения :12 5. Решение. Приведем две первые степени к одному показателю: = = (4 3) = Разделив полученное выражение на 12 5, получим: = = 12 9 = Ответ:

11 Решения задач 1 и 2 диагностической работы 2. Найдите значение выражения (2x 5)(2x + 5) 4x 2 + 3x 5 при x = 100. Решение. Сначала упростим данное выражение, применив формулу разности квадратов и приведя подобные слагаемые: (2x 5)(2x + 5) 4x 2 + 3x 5 = 4x x 2 + 3x 5 = = 3x 30. При x = 100 искомое значение равно = 270. Ответ:

12 Тренировочная работа 1 Ответы: Т1.1. Найдите значение выражения Т Т1.2. Найдите значение выражения Т Т1.3. Найдите значение выражения Т1.3 ( ) : 900. Т1.4. Найдите значение выражения Т : Т1.5. Найдите значение выражения Т : Т1.6. Найдите значение выражения Т :5 40. Т1.7. Найдите значение выражения Т :30 4. Т1.8. Найдите значение выражения Т : Т1.9. Найдите значение выражения Т :7 9 :5 10. Т1.10. Найдите значение выражения Т :3 11 :

13 Ответы: Тренировочная работа 2 Т2.1 Т2.2 Т2.3 Т2.4 Т2.5 Т2.6 Т2.7 Т2.8 Т2.9 Т2.10 Т2.1. Найдите значение выражения (2x 7) 2 4x 2 50 при x = 100. Т2.2. Найдите значение выражения (5m + 3) 2 25m 2 29m + 1 при m = 123. Т2.3. Найдите значение выражения (6c 5)(6c + 5) (6c 5) 2 при c = 11. Т2.4. Найдите значение выражения (5d 1)(5d + 1) (5d + 1) 2 при d = 110. Т2.5. Найдите значение выражения (5b + 11) 2 (5b 11) 2 при b = 100. Т2.6. Найдите значение выражения b 2 : b 7 b 4 при b = 0,1. Т2.7. Найдите значение выражения 2a 2 3 :(2a 5 ) при a = 125. Т2.8. Найдите значение выражения 2m 7 2 : 2m 5 3 при m = 5. Т2.9. Найдите значение выражения (3b) 3 : b 8 b 6 при b = 5. Т2.10. Найдите значение выражения при x = 79. 5x 5x 8 3 : 5x

14 Действия с дробями, целыми степенями и дробно-рациональными выражениями. Решениязадач3и4диагностическойработы Третья и четвертая задачи каждой диагностической работы связаны с арифметическими действиями над дробями, целыми степенями и дробно-рациональными выражениями. Если какая-то из них решена неправильно или вызвала затруднение, следует повторить по учебнику или справочному пособию следующие темы: правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю (числителю), наименьший общий знаменатель нескольких дробей, сравнение дробей, арифметические действия с обыкновенными дробями, нахождение дроби от числа и числа по дроби, арифметические действия с рациональными числами, арифметические действия с конечными десятичными дробями, произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями: a n a m = a n+m, a n a m = a n m, 1 a n = a n, произведение и частное степеней с одинаковыми показателями: a n b n = (ab) n a, n a n, = b n b возведение степени в степень: a n m = a nm. Часто при решении задач на дроби возникает необходимость выполнить сложение и вычитание дробей, числители которых равны единице. Очевидное равенство 1 a ± 1 b = b ab ± a ab = b ± a позволяет выполнять подобные ab вычисления в уме. Например, сложим 1 3 и 1 5. Числитель суммы равен сумме чисел 3 и 5, а знаменатель произведению этих чисел. Получаем: = Аналогичное правило справедливо и при вычитании таких дробей: = = 2. Описанный прием эффективен и в том 63 13

15 Решения задач 3 и 4 диагностической работы случае, когда знаменатели слагаемых не взаимно простые числа. Но в этом случае полученная дробь нуждается в сокращении: = = Преобразуя суммы, в которых участвуют степени некоторого числа, бывает удобно вынести за скобки степень с наименьшим показателем. Найдем, например, значение выражения В числителе степень с наименьшим показателем это 5 2,а8 2 степень с наименьшим 19 8 показателем в знаменателе. Вынесем эти степени за скобки: 5 2 ( ) 8 2 ( ) = 5 2 ( ). Выполнив действия 8 2 ( ) с целыми числами, получим: = = 8 2 = 2, Решение задач на преобразование выражений предполагает, как правило, последовательное упрощение данных выражений. При этом используются свойства степеней и формулы сокращенного умножения. Упрощение выражений обычно сводится к приведению подобных членов и сокращению дробей после некоторых предварительных действий, важнейшим из которых является разложение на множители. Последнее, в свою очередь, заключается в выполнении одной или нескольких из следующих четырех «инструкций». I. «Сгруппируй слагаемые» В качестве примера упростим при допустимых значениях переменных выражение, выполн ив 13xy 2ab 7 yx + 3ab 6xy + ab необходимую группировку в числителе дроби: 13xy 2ab 7yx+ 3ab = (13xy 7yx) + (3ab 2ab) = 6xy + ab. Значит, 13xy 2ab 7 yx + 3ab 6xy + ab = 6xy + ab 6xy + ab = 1. II. «Вынеси за скобку» 3xy 7xz, вынеся за скобку об- 3 y 7z Сократим, например, дробь щий множитель: 3xy 7xz 3 y 7z = x(3 y 7z) 3 y 7z 14 = x.

16 Решения задач 3 и 4 диагностической работы III. «Примени формулу» Рассмотрим еще один пример на сокращение дроби 9 y 4 4x 2 2. Для его решения разложим числитель на множители, применив формулу разности квадратов: 2x + 3 y 9 y 4 4x 2 2x + 3 y = (3 y2 + 2x)(3 y 2 2x) = 3y 2 2x. 2 2x + 3 y 2 IV. «Добавь и вычти» 4a Для сокращения дроби выделим в числителе 2a 2 2a + 1 полный квадрат: 4a a 2 2a + 1 = 4a4 + 4a a 2 = (2a2 + 1) 2 (2a) 2 = 2a 2 2a + 1 2a 2 2a + 1 = (2a a)(2a a) = 2a 2 + 2a a 2 2a + 1 Последний пример уже превосходит по уровню сложности задачу В7, но прием, использованный при его решении, может оказаться полезным для решения заданий части С. 3. Найдите значение выражения ,8. 3 Решение. Обратим все дроби в неправильные обыкновен- ные дроби: ,8 = (в данном случае это наиболее рациональный способ): ираскроемскобки 24 5 = = = 7. Ответ: Найдите значение выражения a 23 a 8 a 16 при a = 0,04. Решение. Воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием: a23 a 8 = a 23+( 8) 16 = a 1 = 1 a 16 a.поскольку a = 0,04 = 1 1, искомое значение равно 1 : = 25. Ответ:

17 Ответы: Тренировочная работа 3 Т3.1 Т3.2 Т3.3 Т3.4 Т3.5 Т3.1. Найдите значение выражения 0, ,23. Т3.2. Найдите значение выражения 42 2 (0,42) 2. 42,42 Т3.3. Найдите значение выражения 0, ,6 4,7. Т3.4. Найдите значение выражения 14, , Т3.5. Найдите значение выражения : 5 6. Т3.6 Т3.7 Т3.8 Т3.9 Т3.10 Т3.6. Найдите значение выражения Т3.7. Найдите значение выражения Т3.8. Найдите значение выражения ,5 : Т3.9. Найдите значение выражения 7 10 : Т3.10. Найдите значение выражения 3 15 :

18 Тренировочная работа 4 Ответы: Т4.1. Найдите значение выражения Т4.1 a 46 a 16 a 32 при a = 2. Т4.2. Найдите значение выражения Т4.2 a 10 a 29 a 17 при a = 0,2. Т4.3. Найдите значение выражения Т4.3 a 23 a 38 a 60 при a = 0,01. Т4.4. Найдите значение выражения Т4.4 2a + 9b a + 2b, если a b = 3. Т4.5. Найдите значение выражения Т4.5 a(a ) a a 8 при a = 0,4. Т4.6. Найдите значение выражения Т4.6 (25b 2 1 9) 5b b 5 5b + 3 при b = 23,4. Т4.7. Найдите значение выражения Т4.7 2a + a13 a 14 a 15 a 16 при a = 90. Т4.8. Найдите значение выражения Т4.8 если a a + b = a + 4b 2a + b, 17

19 Ответы: Тренировочная работа 4 Т4.9 Т4.10 Т4.9. Найдите значение выражения (36a 2 a 1 1) 6a + 1 a + 1 6a 1 при a = 100. Т4.10. Найдите значение выражения (b 2 b ) b 7 b 1 15b + 7 b + 7 при b =

20 Действия с корнями, дробными степенями и иррациональными выражениями. Решения задач 5 и 6диагностической работы Пятая и шестая задачи каждой диагностической работы связаны с действиями над корнями, дробными степенями и иррациональными выражениями. Напомним основные определенияисвойствакорнейистепеней с дробным (рациональным) показателем. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называется такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Обозначение: n a.знак называется радикалом, n показатель корня, a подкоренное выражение, a = 3 2 a квадратный корень, a кубический корень. Краткое определение арифметического корня можно записать так: n b n = a, a = b b 0. Основные свойства арифметического корня Для натурального n 2иa0, b 0: n ab = n a n b; n a n a b = n (b 0); b n n a k = n a k k a = nk a n nk a = a k (k ); (k ); (если k 0, то a 0). Степень с рациональным показателем является обобщением представления степени a n = > a a с н атураль- n раз ным показателем. Только вместо n показателем степени может быть рациональное число. Следует помнить, что обобщение распространяется только на положительные основания a > 0. Рациональный показатель степени рациональное число вида m, где целое число m характеризует степень, n анатуральноеn является показателем радикала: a m n n = a m. 19

21 3. Иррациональные выражения Обратите внимание на то, что степень с рациональным показателем определена для положительных чисел (в случае её неотрицательности еще и для нуля). В самом деле, почему бы не считать, что ( 8) = ( 8) 1 = 3 8 = 2? Ответ на этот вопрос довольно прост: если согласиться с этим равенством, то легко получить противоречие. Действительно, в соответствии с подобной «логикой» получим, что ( 8) = ( 8) 6 = ( 8) 2 = 6 64 = 2. Итак, следует запомнить: степень с рациональным показателем определяется только для положительных чисел. 2. Если перед множителем стоит отрицательное число, то знак «минус» под корень не вносится, а остается перед корнем. При преобразовании числовых выражений проблем обычно нет: 3 5 = = 45, а вот при преобразовании буквенных встречаются ошибки. Так, например, если a отрицательно,тоa b = a 2 b. 5. Найдите значение выражения Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов: = (109 60)( ) = = 7 13 = 91. Ответ: Найдите значение выражения 2 b 1 5 b 9 10 при b = 7. Решение. Сначала упростим данное выражение, воспользовавшись свойствами степени с рациональным показателем: b 1 5 b = b 1 5 b = b 1 5 b 9 5 = b = b 10 5 = b 2. Значит, искомое значение равно 7 2 = 49. Ответ:

22 Тренировочная работа 5 Ответы: Т5.1. Найдите значение выражения Т Т5.2. Найдите значение выражения Т Т5.3. Найдите значение выражения Т Т5.4. Найдите значение выражения Т5.4 3,4 11,9 0,14. Т5.5. Найдите значение выражения Т Т5.6. Найдите значение выражения Т ,36 0,6. Т5.7. Найдите значение выражения Т Т5.8. Найдите значение выражения Т , ,17. Т5.9. Найдите значение выражения Т Т5.10. Найдите значение выражения Т5.10 1,

23 Ответы: Тренировочная работа 6 Т6.1 Т6.2 Т6.3 Т6.4 Т6.1. Найдите значение выражения a 4,4 a 2,4 при a = 5. Т6.2. Найдите значение выражения a 3,7 a 2,4 a 4,1 при a = 3. Т6.3. Найдите значение выражения b 1 4 b при b = 6. Т6.4. Найдите значение выражения b Т6.5 Т6.6 Т6.7 Т6.8 при b = 16. Т6.5. Найдите значение выражения 22 2 d d 2 b 1 6 при d = 2. Т6.6. Найдите значение выражения b 1,4 b 0,3 2 при b = 9. Т6.7. Найдите значение выражения 3 a 6 a a a при a = 0,2. Т6.8. Найдите значение выражения b 2 6 b 10 b 15 b при b = 6. 22

24 Тренировочная работа 6 Ответы: Т6.9. Найдите значение выражения Т6.9 5 x + 4 x 4 x x + 2x 5 при x = 7. Т6.10. Найдите значение выражения Т6.10 при b = 5 7. b 3 5 b b 6 5 (b 1,6 ) 2 23

25 Тригонометрические выражения. Решения задач 7 и 8 диагностической работы Седьмое и восьмое задания диагностических работ задачи на преобразование тригонометрических выражений. И хотя тригонометрических формул довольно много, для решения этих задач достаточно помнить лишь табличные значения тригонометрических функций и основные формулы (удвоенного аргумента, синуса и косинуса суммы или разности двух чисел). Преобладающим типом задач (в том числе и значительно более сложных по сравнению с рассматриваемыми) на действия с тригонометрическими выражениями являются задачи на упрощение числовых и буквенных выражений и вычисление их значений. При этом во многих случаях достаточно применить одну или несколько из следующих «инструкций»: «используй табличные значения», «используй периодичность», «приведи к углу первой или второй четверти», «определи знак», «представь единицу в виде суммы квадратов синуса и косинуса», «преобразуй в сумму», «используй формулы удвоенного аргумента», «понизь степень», «преобразуй в произведение». Любую задачу на вычисление значений тригонометрических функций произвольного аргумента x можно свести к задаче на вычисление значений тригонометрических функций острых углов. При этом можно использовать следующий алгоритм. Если число x больше 2πn, номеньше2π(n + 1) (n целое число), то рассматриваем число α = x 2πn иотмечаемна единичной окружности точку P α. Координаты точки P α равны по определению cos α иsinα и (по свойствам периодичности тригонометрических функций) совпадают соответственно с cos x и sinx. Если точка P α лежит во II четверти, то строим точку, симметричную ей относительно оси ординат. Если точка P α лежит в IV четверти, то строим точку, симметричную ей относительно оси абсцисс. Если точка P α лежит в III четверти, то 24

26 Решения задач 7 и 8 диагностической работы строим точку, симметричную ей относительно начала координат. Полученная при симметрии точка будет лежать в I четверти. Отмечаем координаты полученной точки и, пользуясь признаками равенства прямоугольных треугольников, находим синус и косинус числа x с учетом знака. Одним из наиболее распространенных типов несложных задач по тригонометрии является вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. При решении задач этого типа обычно используется основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α = 1иегоследствия: 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α,ctg2 α + 1 = 1 sin 2 α. 7. Найдите значение выражения 22 sin 11 cos 11 sin 22. Решение. Упростим выражение в числителе данной дроби, применив формулу синуса удвоенного аргумента: 22 sin 11 cos 11 = 11(2 sin 11 cos 11 ) = 11 sin 22. Найдем искомое значение: 22 sin11 cos 11 sin 22 = Ответ: Найдите tg β, еслиsinβ = 3 10 и β 11 sin 22 sin 22 = 11. π 2 ; π. π Решение. Найдем сначала cos β. Изусловияβ 2 ; π следует, что β угол второй четверти, поэтому cos β<0. Из основного тригонометрического тождества получим: cos 2 β = 1 sin β = 1 = = Поскольку cos β < 0, то cos β = 1, а tgβ = sin β 10 cos β = = 3 : 1 = Ответ: 3. 25

27 Ответы: Тренировочная работа 7 Т7.1 Т7.2 Т7.3 Т7.4 Т7.5 Т7.6 Т7.7 Т7.8 Т7.9 Т7.10 Т7.1. Найдите значение выражения 12 sin 150 cos 120. Т7.2. Найдите значение выражения 6 6sin 3π 4 cos 7π 6. Т7.3. Найдите значение выражения 8 tg 135 cos( 300 ). Т7.4. Найдите значение выражения 8tg 7π 3 tg 11π 6. Т7.5. Найдите значение выражения 8 tg 150 sin( 300 ) cos720. Т7.6. Найдите значение выражения 44 sin44 cos 44 sin 88. Т7.7. Найдите значение выражения 6cos43 sin( 47 ). Т7.8. Найдите значение выражения 12 cos( 300 ). Т7.9. Найдите значение выражения 14 sin 88 sin 44 sin 46. Т7.10. Найдите значение выражения cos cos

28 Тренировочная работа 8 Ответы: Т8.1. Найдите 26 sin α, еслиcosα = и 3π 2 <α<2π. Т8.1 Т8.2. Найдите 13 cos α, еслиsinα = 5 13 и π <α<π. Т8.2 2 Т8.3. Найдите 34 sin α, еслиcosα = и 3π 2 <α<2π. Т8.3 Т8.4. Найдите 50 cos α, еслиsinα = и π <α<π. Т8.4 2 Т8.5. Найдите значение выражения 4 + 5tg 2 α cos 2 α,если Т8.5 sin α = 1. 5 π Т8.6. Найдите 10 cos 2 + α,еслиcosα = 0,8 иα π; 3π. Т8.6 2 Т8.7. Найдите значение выражения 6 sin 2 α,еслиtgα = 2. Т8.7 Т8.8. Найдите значение выражения 12 cos 2 α,еслиtgα = 5. Т8.8 Т8.9. Найдите 6 cos α, еслиtgα = 2 2иπ<α< 3π 2. Т8.9 Т8.10. Найдите 26 sin α, еслиtgα = 2,4 иπ<α< 3π 2. Т

29 Действия с действительными степенями и показательными выражениями. Решения задач 9 и 10 диагностической работы Девятое и десятое задания диагностических работ задачи на преобразование выражений с действительными (иррациональными) степенями и показательных выражений (как уже отмечалось, под показательным выражением понимается выражение, содержащее переменную в показателе степени некоторого числа), а также на вычисление значений последних при заданном значении переменной. И хотя задачи, содержащие корни в показателях степеней, на Едином экзамене не встречаются, потренироваться в действиях с ними будет полезно ведь эти действия, в сущности, не отличаются от действий с любыми другими степенями. 9. Найдите значение выражения Решение. По свойствам степеней = = 7 2 = 49. Ответ: Найдите значение выражения g(x 9) g(x 11), если g(x) = 8 x. Решение. Выполним подстановку и воспользуемся свойствами степеней: g(x 9) g(x 11) = 8x 9 8 = x 11 8x 9 (x 11) = 8 2 = 64. Ответ:

30 Тренировочная работа 9 Ответы: Т9.1. Найдите значение выражения Т Т9.2. Найдите значение выражения Т Т9.3. Найдите значение выражения Т Т9.4. Найдите значение выражения Т Т9.5. Найдите значение выражения Т Т9.6. Найдите значение выражения Т Т9.7. Найдите значение выражения Т Т9.8. Найдите значение выражения Т Т9.9. Найдите значение выражения Т Т9.10. Найдите значение выражения Т :

31 Ответы: Тренировочная работа 10 Т10.1 Т10.2 Т10.3 Т10.4 Т10.5 Т10.6 Т10.7 Т10.8 Т10.9 Т10.10 Т10.1. Найдите значение выражения x + 5 2x+1 25 x при x = 7. Т10.2. Найдите значение выражения x 7 2x x при x = 4. Т10.3. Найдите значение выражения b при b = 2. Т10.4. Найдите значение выражения b b 12 при b = 0,5. Т10.5. Найдите значение выражения b 7+7 b 7+8 при b = 0,2. Т10.6. Найдите значение выражения b при b = 0,4. Т10.7. Найдите значение выражения x + 6 2x+1 :36 x при x = 5. Т10.8. Найдите значение выражения x :5 2x+1 25 x 1 при x = 25. Т10.9. Найдите значение выражения f (x 7) f (x 6), если f (x) = 5 x. Т Найдите значение выражения если g(x) = 25 x. g(x 7) g(7,5 x), 30

32 Действия с логарифмами и логарифмическими выражениями. Решения задач 11 и 12 диагностической работы При повторении темы «Преобразование логарифмических выражений» (задачи 11 и 12 диагностических работ) следует вспомнить ряд основных формул, связанных с логарифмами: a log a b = b (a > 0, a 1, b > 0), log c a + log c b = log c (ab) (a > 0, b > 0, c > 0, c 1), a log c a log c b = log c (a > 0, b > 0, c > 0, c 1), b log c a b = b log c a (a > 0, c > 0, c 1), log c d a = 1 d log c a (a > 0, c > 0, c 1, d 0), log b a = log c a и, в частности, log c b log a b = 1 (a > 0, b > 0, c > 0, b 1, c 1), log b a a log c b = b log c a (a > 0, b > 0, c > 0, c 1). Большинство заданий на преобразование логарифмических выражений и вычисление их значений можно отнести к одной из следующих групп: упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов, упражнения на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма. Так, например, для того чтобы найти значение выражения 6 log 67 log 7 7 6, достаточно воспользоваться свойством степеней a b c = a c b и преобразовать данное выражение так: 6 log 7 67 log 7 6 = 6 log 7 log = 7 log 7 67 = Найдите значение выражения 11 6 log 6 2. Решение. Применив основное логарифмическое тождество a log a b = b, получим:11 6 log 6 2 = 11 2 = 22. Ответ:

33 Решения задач 11 и 12 диагностической работы 12. Найдите значение выражения log a (ab 3 ), если log b a = 1 7. Решение. Из условия следует, что a и b положительные числа, отличные от 1. Поскольку логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию, получим: log a (ab 3 ) = log a a + log a b 3 = 1 + log a b 3. Последовательно применяя формулы log c a b = b log c a иlog a b = 1 log b a,находим: 1 + log a b 3 1 = 1 + 3log a b = log b a. По условию log b a = 1, значит, искомое значение равно = 22. Ответ:

34 Тренировочная работа 11 Ответы: Т11.1. Найдите значение выражения Т11.1 log 6 0,9 + log Т11.2. Найдите значение выражения Т11.2 log 7 4,9 log 7 0,1. Т11.3. Найдите значение выражения Т log 7 3. Т11.4. Найдите значение выражения Т log 3 2. Т11.5. Вычислите значение выражения log Т11.5 Т11.6. Вычислите значение выражения Т log 2 3 log 3 2. Т11.7. Вычислите значение выражения Т11.7 log Т11.8. Вычислите значение выражения Т11.8 log Т11.9. Найдите значение выражения Т11.9 log 5 36 log 5 6. Т Найдите значение выражения Т11.10 log 25 7 log

35 Ответы: Тренировочная работа 12 Т12.1 Т12.1. Найдите log a (ab), если log a b = 5. Т12.2 Т12.2. Найдите log a b a,еслиlog a b = 4. Т12.3 Т12.3. Найдите log a (ab), если log b a = 1 6. Т12.4 Т12.4. Найдите log a a b,еслиlog b a = 1 3. Т12.5 Т12.5. Найдите log a (ab 3 ), если log a b = 2. Т12.6 Т12.6. Найдите log a a b 5,еслиlog a b = 3. Т12.7 Т12.7. Найдите log a a 3 b 7,еслиlog b a = 7. Т12.8. Найдите значение выражения log a a b, если Т12.8 log b a = 1 7. Т a Т12.9. Найдите значение выражения log a b,еслиlog a b = 6. Т12.10 Т Найдите значение выражения 3 log a a 2 b, log b a = 1 7. если 34

36 Диагностическая работа 1 Ответы: Д1.1. Найдите значение выражения Д1.1 ( ) : Д1.2. Найдите значение выражения Д1.2 b 5 : b 9 b 6 при b = 0,01. Д1.3. Найдите значение выражения Д1.3 1,23 45,7 12,3 0,457. Д1.4. Найдите значение выражения Д1.4 a(36a ) 6a a 5 при a = 36,7. Д1.5. Найдите значение выражения Д Д1.6. Найдите значение выражения Д1.6 a 7,4 a 8,4 при a = 0,4. Д1.7. Найдите значение выражения Д1.7 5sin98 sin 49 sin 41. 5π Д1.8. Найдите 4 sin 2 + α,еслиsinα = 0,6 иα π; 3π. Д1.8 2 Д1.9. Найдите значение выражения Д : Д1.10. Найдите значение выражения Д1.10 при x = x 1 :49 x : x 35

37 Ответы: Диагностическая работа 1 Д1.11 Д1.11. Вычислите значение выражения log 4 8. Д1.12 Д1.12. Найдите если log a b = 5. log a a b 3, 36

38 Диагностическая работа 2 Ответы: Д2.1. Найдите значение выражения Д :5 37. Д2.2. Найдите значение выражения Д2.2 (4b) 3 : b 9 b 5 при b = 128. Д2.3. Найдите значение выражения Д ,5 1 : 70. Д2.4. Найдите значение выражения Д2.4 (9b ) 3b b 13 3b + 7 при b = 345. Д2.5. Выполните действия Д Д2.6. Найдите значение выражения Д2.6 b 1 3 b при b = 4. Д2.7. Найдите значение выражения Д2.7 5sin74 cos 37 cos 53. Д2.8. Найдите Д2.8 π 3sin(π α) cos 2 α, если sin α = 1 8. Д2.9. Найдите значение выражения Д Д2.10. Найдите значение выражения Д2.10 при x = 5. x 3 2x+1 9 x 37

39 Ответы: Диагностическая работа 2 Д2.11 Д2.11. Вычислите значение выражения Д2.12 Д2.12. Найдите если log a b = 2. log log a (a 2 b 3 ), 38

40 Диагностическая работа 3 Ответы: Д3.1. Найдите значение выражения Д : Д3.2. Найдите значение выражения Д3.2 2a 3 4 :(2a 11 ) при a = 11. Д3.3. Найдите значение выражения Д , Д3.4. Найдите значение выражения Д3.4 a + 6b a + b, если a b = 4. Д3.5. Найдите значение выражения Д Д3.6. Найдите значение выражения Д3.6 9 a 18 a a 6 a при a = 1,25. Д3.7. Найдите значение выражения Д cos( 330 ). Д3.8. Найдите tg α, еслиsinα = 5 и α π; 3π. Д Д3.9. Найдите значение выражения Д3.9 0, Д3.10. Найдите значение выражения Д3.10 b b 2 3 при b = 6. 39

41 Ответы: Диагностическая работа 3 Д3.11 Д3.11. Найдите значение выражения log 9 8,1 + log Д3.12 Д3.12. Найдите если log a b = 7. log a (a 3 b), 40

42 Диагностическая работа 4 Ответы: Д4.1. Найдите значение выражения Д : Д4.2. Найдите значение выражения Д4.2 6x 3x 123 : 3x 9 4 при x = 75. Д4.3. Найдите значение выражения Д : 4 9. Д4.4. Найдите значение выражения Д4.4 a 13 a 18 a 7 при a = 9. Д4.5. Найдите значение выражения Д Д4.6. Найдите значение выражения Д4.6 7 x 5 x + 5 x x + 3x 4 при x = 3. Д4.7. Найдите значение выражения Д4.7 5cos33 sin( 57 ). Д4.8. Найдите tg α, еслиcosα = 2 13 и α 3π 2 ; 2π. Д4.8 Д4.9. Найдите значение выражения Д Д4.10. Найдите значение выражения Д4.10 b при b = 5. b 4 41

43 Ответы: Диагностическая работа 4 Д4.11 Д4.12 Д4.11. Найдите значение выражения log log Д4.12. Найдите значение выражения если log b a = a log a b, 42

44 Диагностическая работа 5 Ответы: Д5.1. Найдите значение выражения Д :8 24 : Д5.2. Найдите значение выражения Д5.2 (2a) 3 : a 7 a 5 при a = 1,5. Д5.3. Найдите значение выражения Д , ,57 Д5.4. Найдите значение выражения Д5.4 (3x) 3 x 11 x 7 2x 2 при x = 4. Д5.5. Найдите значение выражения Д Д5.6. Найдите значение выражения Д b b 14 b при b = 5. Д5.7. Найдите значение выражения Д cos 5π 4 cos 5π 3. Д5.8. Найдите значение выражения Д5.8 3cosα 4sinα 2sinα 5cosα, если tg α = 3. Д5.9. Найдите значение выражения Д

45 Ответы: Диагностическая работа 5 Д5.10 Д5.11 Д5.12 Д5.10. Найдите значение выражения 9 x x+8 3 2x+21 4 x+4 при x = 2. Д5.11. Найдите значение выражения log 0,8 3 log 3 1,25. Д5.12. Найдите значение выражения a 4 log c, b 5 если log a c = 4, log c b = 3. 44

46 Ответы Диагностическая работа Тренировочная работа 1 (Т1) Тренировочная работа 2 (Т2) , Тренировочная работа 3 (Т3) , Тренировочная работа 4 (Т4) 1. 0, , , Тренировочная работа 5 (Т5) , Тренировочная работа 6(Т6) ,4. Тренировочная работа 7 (Т7) ,5. Тренировочная работа 8 (Т8) Тренировочная работа 9 (Т9) ,

47 Ответы Тренировочная работа 10 (Т10) , , , Тренировочная работа 11 (Т11) , , ,5. Тренировочная работа 12 (Т12) , Диагностическая работа 1 (Д1) , , , , Диагностическая работа 2 (Д2) 1. 0, , , , Диагностическая работа 3 (Д3) , Диагностическая работа 4 (Д4) 1. 1, , Диагностическая работа 5 (Д5) , ,

48 Содержание Отредакторовсерии. 3 Введение. 4 Диагностическаяработа. 6 Действия с целыми числами, натуральными степенями и целыми рациональными выражениями.решениязадач1и2диагностическойработы. 8 Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Действия с дробями, целыми степенями и дробно-рациональными выражениями. Решениязадач3и4диагностическойработы Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Действия с корнями, дробными степенями и иррациональными выражениями. Решениязадач5и6диагностическойработы Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Тригонометрические выражения. Решения задач 7 и 8 диагностической работы. 24 Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Действия с действительными степенями и показательными выражениями. Решениязадач9и10диагностическойработы Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Действия с логарифмами и логарифмическими выражениями. Решения задач 11 и12диагностическойработы Тренировочнаяработа Тренировочнаяработа Диагностическаяработа Диагностическаяработа Диагностическаяработа Диагностическаяработа Диагностическаяработа Ответы

49 Шестаков Сергей Алексеевич ЕГЭ МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА B7. ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ. РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко Подписано в печать г. Формат / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 3. Тираж экз. Заказ. Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) Отпечатано с электронных носителей издательства. ОАО «Тверской полиграфический комбинат» , г. Тверь, пр-т Ленина, 5. Телефон: (4822) , (495) , Телефон/факс: (4822) Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499)

ЗАДАЧИ 2, 5 базовый уровень МАТЕМАТИКА 2017 ЕГЭ Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ 2017 МАТЕМАТИКА профильный уровень ЗАДАЧА 9 базовый уровень ЗАДАЧИ 2, 5 С. А. Шестаков ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ЗАДАЧА 9 профильный

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ С. А. Шестаков ЕГЭ 208. Математика Простейшие уравнения Задача 5 (профильный уровень) Задачи 4 и 7 (базовый уровень) Рабочая тетрадь Под редакцией И. В. Ященко Издание соответствует Федеральному

И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году Методические указания Издательство МЦНМО 2009 УДК 373.167.1 ББК 22.141я721 Я97 Я97 Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ С. А. Шестаков ЕГЭ 014. Математика Задача B14 Производная и первообразная. Исследование функций Рабочая тетрадь Издание пятое, стереотипное Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко Издание

И. В. Ященко, С. А. Шестаков ОГЭ по математике от А до Я. Модульный курс Алгебра Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) Москва Издательство МЦНМО 2018 УДК

ОГЭ И. В. Ященко 2017 С. А. Шестаков Подготовка к ОГЭ по математике МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 26 задач методические рекомендации с разбором задач тренинги к каждому заданию тренировочные варианты в формате

МАТЕМАТИКА 2017 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ профильный уровень ЗАДАЧА 3 базовый уровень ЗАДАЧА 8 А. В. Хачатурян НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ А. В. Хачатурян ЕГЭ 2017. Математика

МАТЕМАТИКА 2017 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ профильный уровень ЗАДАЧА 6 базовый уровень ЗАДАЧИ 8, 15 А. В. Хачатурян ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ А. В. Хачатурян ЕГЭ 2017. Математика

7 4 МАТЕМАТИКА Под редакцией И. В. Ященко И. В. Ященко П. И. Захаров 4 Базовый 7 Профильный ЕГЭ 209 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ЕГЭ 209 МАТЕМАТИКА ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ И. В. Ященко, П.

ЕГЭ-2015 по математике и как к нему готовиться (методические рекомендации с разбором задач) В 2015 году Единый государственный экзамен по математике претерпит существенные изменения по сравнению с экзаменом

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ И. В. Ященко, П. И. Захаров ЕГЭ 208. Математика Геометрический смысл производной Задача 7 (профильный уровень) Задача 4 (базовый уровень) Рабочая тетрадь Под редакцией И. В. Ященко Издание

Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Нахождение значений выражений Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Нахождение значений выражений Материалы подготовили: Корянов А Г (г

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

УДК 373:51 ББК 22.1я72 Х29 Х29 Хачатурян А. В. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6 (профильный уровень). Задачи 8 и 15 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. М.:

Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования, утверждённой приказом директора МБОУ СОШ 5 приказ от 01.06.2016 203 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет: алгебра и начала анализа Класс:

ОГЭ И. В. Ященко С. А. Шестаков ПО МАТЕМАТИКЕ от А до Я 208 ОГЭ 208 АЛГЕБРА ФГОС МОДУЛЬНЫЙ КУРС АЛГЕБРА методические рекомендации с разбором задач тренинги к каждому заданию тренировочные варианты в формате

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. 5 Глава первая Арифметика и алгебра. 6 1.1. Числа и действия с ними.

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Армавирский машиностроительный техникум»

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Скворцова Д.А. 1.02.15 Содержание 1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические

ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН. Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт http://matematikalegko.ru «Решение простейших тригонометрических уравнений» Решение простейших тригонометрических уравнений (в итоге

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

3 Уважаемый читатель! В ваших руках современный справочник, который поддержит вас при обучении в 5 11 классах, поможет подготовиться к экзаменам, даст возможность без труда поступить в вуз. В справочнике

УДК 7.67.:5 ББК.я7 М9 М9 Муравин, Г. К. Алгебра. 8 кл. : учебник / Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. 5-е изд., стереотип. М. : Дрофа, 08. 55, [] с. ISBN 978-5-58-9706-0 Учебник является частью

Утверждаю Евгущенко А.М. Приказ 182 от 29.08 2017 Рабочая программа по алгебре для 10Б класса на 2017-2018 учебный год. Алёхиной Ирины Константиновны, учителя математики Государственного бюджетного образовательного

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 471 Выборгского района СанктПетербурга РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по алгебре для 10 класса СанктПетербург 20182019 учебный

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

А ЕГЭ!* ГАРАНТИЯ АЛЛ НА ЕГЭ!* ГАРАНТИЯ ГАРАНТИЯ КАЧЕСТВА ЕГЭ! НА БАЛЛ ВЫСШИЙ ПОЛУЧИ ОЛУЧИ ВЫС Ч УДК 373:51 ББК.1я71 К75 Об авторах: В.В. Кочагин кандидат педагогических наук, учитель математики ГБОУ гимназия

«Рассмотрено» Заседание МО МБОУ Междуреченская СОШ Протокол 1 от 28.08.2014г. Руководитель МО «Согласовано» Заместитель директора по УР МБОУ Междуреченская СОШ Протокол АМС 1от 29.08. 2014г. «Утверждаю»

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре разработана в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учётом требований федерального компонента государственного

МАТЕМАТИКА, класс часов в неделю, всего 0 часа урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п. «Натуральные числа и шкалы» (8 уроков) Дата - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8- -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

СПЕЦИФИКАЦИЯ контрольно-измерительных материалов для проведения итоговой контрольной работы по алгебре и началам анализа в 10 классе в 017-018 учебном году. 1. Назначение КИМ - оценить уровень общеобразовательной

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

УДК 7:51 ББК 22.1я72 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 20. Задачи с параметром Под ред. И. В. Ященко Электронное издание М.: МЦНМО, 2015 240 с. ISBN 978-5-449-2122-8 Рабочая тетрадь по математике

Номер урока Тема урока КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Кол-во часов Глава 1. Обыкновенные дроби. 1. Делимость чисел 24 ч 1-3 Делители и кратные 3 Делитель, кратное, наименьшее кратное натурального

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 4 Рассмотрено на педагогическом совете Протокол 1 от 31.08. 2017 г. Приказ 162 от 31.08.2017 УТВЕРЖДАЮ: Директор

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ 8 класс МОСКВА «ВАКО» 015 УДК 7:167.1:51 ББК 74.6.1 Р87 Р87 Рурукин А.Н. Поурочные разработки

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 471 Выборгского района СанктПетербурга РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по алгебре для 10 класса СанктПетербург 20182019 учебный

И. В. Ященко, С. А. Шестаков ОГЭ по математике от А до Я. Модульный курс Геометрия Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) Москва Издательство МЦНМО 2018 УДК

Пояснительная записка Рабочая программа учебного предмета «Математика (алгебра и начала анализа)» составлена в соответствии с Основной образовательной программой среднего общего образования муниципального

8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Приложение к рабочей программе по математике Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Государственное областное бюджетное общеобразовательное учреждение «Минькинская коррекционная школа-интернат»

Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Севастополя «Средняя общеобразовательная школа 52 имени Ф.Д.Безрукова РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету «Алгебра» для 7 класса на 2016 2017 учебный

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ урока тема урока 1 Повторение за курс 6 класса. Решение 2 Повторение за курс 6 класса. Положительные и отрицательные числа. 3 Повторение за курс 6 класса. Пропорции.

2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В11 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 2 «Одночлены. Многочлены. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать что называется Уметь отличать

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

1. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ 1. Если степени с одинаковыми основаниями перемножаются, то основание остаётся тем же самым, а показатели складываются: a m a n a m`n. Если степени с одинаковыми основаниями делятся,

01 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В Теория для решения задач В + решение 10 примеров. Задачи из единого банка задач ЕГЭ по математике аналогичны экзаменационным. Наталья и Александр

Дата Название изучаемой Контроль Характеристика основных видов деятельности Тема урока Тип урока Форма контроля Требования к результатам (предметным и метапредметным) Учащийся научится Учащийся сможет

Алгебраические преобразования В процессе преобразования алгебраических выражений переходим от одного алгебраического выражения к другому, более простому или удобному. Такой переход производим с помощью

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Пояснительная записка Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов и методических рекомендаций: 1.Федеральнфй государственный образовательный стандарт основного

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс урока Тема урока 1 Повторение. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Колво часов Элементы содержания Тема 1. Рациональные дроби и их

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара Программа рассмотрена на заседании ШМО учителей точных наук Протокол

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

СООТВЕТСТВУЕТ ТРЕБОВАНИЯМ едерального государственного образовательного стандарта А. Р. РЯЗАНОВСКИЙ НЕРАВЕНСТВА В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 8 11 классы ПРАКТИКУМ МОСКВА 2019 УДК 372.851 ББК 74.262.21

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа 75 имени И.А. Красюка» Принята на педагогическом совете Протокол 12 от 28.06.2017 УТВЕРЖДАЮ: Директор МБУ «Школа

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат Рассмотрим равенство = 16 Здесь это основание степени; показатель степени, 16 степень Основание степени можно назвать так: корень четвертой

Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Рабочая учебная программа МАТЕМАТИКА 5-6 классы 2017-2018 учебный год АННОТАЦИЯ Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными положениями Федерального государственного образовательного

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

урока Тематическое планирование к учебнику «Математика,6», авт. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Кол-во Разделы и темы п.п. часов. Повторение курса математики 5 класса 4 2. Делимость чисел 2. Сложение и

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ С. А. Шестаков, П. И. Захаров ЕГЭ 08. Математика Уравнения и системы уравнений Задача 3 (профильный уровень) Под редакцией И. В. Ященко Издание соответствует новому Федеральному государственному

Общие положения Содержание программы сгруппировaнo вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числовые вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Геометрические

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС. Примерная или авторская программа Рабочая учебная программа изучения математики в 6 классе составлена на основании авторской программы «Программа. Планирование

Пояснительная записка Данная рабочая программа учебного курса по алгебре для 8 класса разработана на основе программы основного общего образования по математике с учетом требований федерального компонента

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

А Н РУРУКИН САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ 8 класс МОСКВА «ВАКО» УДК 3735 ББК 14 Р87 6 Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Большая перемена Э.Н. Балаян ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА И ЕГЭ 5-11 КЛАССЫ Вся программа математики 5 11 классов Более 3000 упражнений Ответы ко всем заданиям Ростов-на-Дону

СОДЕРЖАНИЕ Раздел ВЫРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.. Корень степени п Понятие корня степени Свойства корня степени 9 Тождественные преобразования иррациональных выражений Примеры заданий ЕГЭ по теме «Корень

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Севастополя «Средняя общеобразовательная школа 52 имени Ф.Д.Безрукова РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету «Алгебра» для 10 класса на 2016 2017 учебный

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

2012 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В7 Вся теория необходимая для решения В7. Рекомендации, советы, приёмы. Задачи из единого банка задач ЕГЭ по математике аналогичны экзаменационным.

Рабочая программа по алгебре, 7 класс по учебнику: А.Г. Мордкович «Алгебра 7» п\п Темы учебных занятий. Практическая работа Знания и умения по теме Глава. Математический язык. Математические модели. 3.

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету «Алгебра и начала математического анализа» для 10 «А» класса на 2018 2019 уч год Составитель: Шевелева Марина Станиславовна, учитель математики 1 1. Сведения о программе (примерной/типовой/

п/п Дата по плану Дата корр. Тема урока 1.1 03.09 Инструктаж по ОТ в кабинете математики. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращённого умножения.(повторение) 2.2 05.09 Понятие рациональной

1 Рабочая программа составлена на основе: Программа «Алгебра 10-11 классы» Автор С.М.Никольский, М.К.Потапов и др. Название программы Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала анализа