Основные понятия о системах счисления.

Системы счисления, которыми мы пользуемся в настоящее время, основаны на методе, открытом индусскими математика­ми около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной систе­мой, известной как арабская система счисления, приблизительно в 800 г. н. э., а примерно в 1200 г. н. э. ее начали применять в Европе и в настоящее время используют повсеместно — это десятичная система счисления (по числу пальцев на руках).

Приведем известные из истории системы счисления, ос­нованные на тех же принципах, что и десятичная: пятеричная (количество пальцев на одной руке); двенадцатеричная (дю­жина — количество фаланг на пальцах руки, за исключением большого); двадцатеричная; шестидесятеричная.

Основной системой счисления, применяемой в электронно- вычислительных машинах (ЭВМ), является двоичная система, поскольку вычислительные машины построены на схемах с двумя устойчивыми состояниями. Для удобства представления информации в ЭВМ были созданы восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Понятие об основных системах счисления

Под системой счисления понимается способ представле­ния любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на не­позиционные и позиционные.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой сим­волам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием такой системы. Так, в десятичной системе исполь­зуются 10 цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число 10.

Помимо десятичной, в ПК применяются и другие позици­онные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления

Обработка информации в ЭВМ основана на обмене электрическими сигналами между различными устройствами машины. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. Признак наличия сигнала можно обозначить цифрой 1, а признак отсутствия сигнала – цифрой 0. Т.о., в ЭВМ реализуется два устойчивых состояния. С помощью определенных наборов цифр 0 и 1 можно закодировать любую информацию. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом.

Широкое распространение получила так называемая кодировка ASCII ( American Standard Code for Information Interchange – американский стандартный код для обмена информацией). Это семиразрядный код (каждый символ кодируется семью разрядами) – т.о. можно всегда закодировать 128 символов (7 разрядов по 2 цифры дают 2*2*2*2*2*2*2=128 вариантов записей числа).

Мы обычно пользуемся восьмиразрядным расширением кода ASCII . За счет добавления «лишнего» разряда можно получить еще 128 символов, всего их становится 256. Это расширение позволяет кодировать буквы русского алфавита и некоторые специальные символы.

Самая замечательная система счисления – двоичная. В ней используется только две цифры – 0 и 1. Она проста, и поэтому интересна.

Стоит отметить, что двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых.

Вот, что писал П.С. Лаплас об отношении к двоичной (бинарной) системе великого немецкого математика Г.Ф. Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие, и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего всего из двух символов.

Самый существенный недостаток двоичной системы счисления – числа в этой системе гораздо длиннее, чем в десятичной.

Перевод чисел.

Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонентов цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A316 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16 2 = = 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 144310

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную нужно заменить каждую его цифру на соответствующую тетраду из нижеприведенной таблицы перевода.

0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316

Поскольку в цифровых устройствах используются только два символа 0 и 1, алгебра логики использует логические переменные и функции от них, которые также принимают только два значения - 0 и 1. В логике символы 0 и 1 не цифры. Единица обозначает абсолютную истину, символ 0 - абсолютную ложь. Основы алгебры логики придумал в середине XIX века ирландский математик Дж. Буль, поэтому алгебра логики иногда называется булева алгебра.

В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями. Сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

• НЕ (логическое отрицание, инверсия);

• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

• И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два выска¬зывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности: