Тренировочная работа №129 А. Ларина
б) Произведем отбор корней исходного уравнения при помощи тригонометрического круга.
Ответ:
а)
б)
14. Дана правильная треугольная призма .
а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках составляет третью часть объема призмы.
б) Найдите угол между прямыми и , если известно, что
a)
(Кратко ;) на этот раз…)
Что и требовалось доказать.
б) Продлим луч за точку , отметим на нем точку так, что .
– параллелограмм, то есть . Тогда
Несложно заметить, что
Из треугольника по теореме косинусов:
Из треугольника по теореме косинусов:
Ответ: б)
15. Решите неравенство
Ответ:
16. В равнобедренную трапецию с основаниями и вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, второй раз пересекает большее основание в точке .
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно и .
a) Пусть – центры первой и второй окружностей соответственно.
Покажем прежде, что точки и лежат на одной прямой.
Заметим, – высота трапеции, коль вписанный угол опирается на диаметр окружности. Опустим перпендикуляр из вершины на сторону трапеции.
Тогда – прямоугольник. Обозначим точку пересечения его диагоналей за . Покажем, что точки и совпадут.
– точка пересечения линии симметрии трапеции и прямой, равноудаленной от оснований.
Но и – точка пересечения тех же прямых, о которых говорилось выше – одной из осей симметрии прямоугольника (той, что равноудалена от , она же совпадает с линией симметрии трапеции и прямой, равноудаленной от и ).
Итак, точки и совпали. То есть и лежат на одной прямой.
Но тогда треугольник таков, что в нем биссектриса (центр вписанной окружности в трапеции – точка пересечения биссектрис при вершинах) является и медианой ( в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит, треугольник – равнобедренный ( ).
Что и требовалось доказать.
б) Замечаем также, что вторая окружность (с центром в точке ) проходит через центр первой. Действительно, , является, в частности, точкой пересечения биссектрис углов и , а биссектрисы углов при боковой стороне трапеции, очевидно, высекают прямоугольный треугольник. Так у этого треугольника гипотенуза – диаметр второй окружности. Точке остается принадлежать второй окружности.
Пусть – точка касания первой окружности со стороной .
Треугольники подобны по двум углам. Коэффициент подобия их – . Действительно, так как – точка пересечения биссектрис углов трапеции, а биссектрисы углов трапеции при боковой стороне высекают прямоугольный треугольник, то медиана равна половине гипотенузы. То есть для указанных треугольников.
Тогда , при этом из треугольника
Так как – средняя линия трапеции , то
Ответ: б) .
17. На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными. Количество коробок простых карандашей составляет от числа коробок цветных карандашей. Когда со складов продали коробок простых карандашей и цветных, то на первом складе осталось менее коробок, а на втором – не менее коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе?
Пусть первоначально на втором складе было коробок (с цветными карандашами). Тогда, согласно условию, количество коробок (с простыми карандашами) на первом складе – .
Если продали коробок цветных карандашей, то на складе осталось (то есть ) коробок цветных карандашей.
Если продали коробок простых карандашей, то на складе осталось (то есть ) коробок простых карандашей.
Так как в итоге на первом складе осталось менее коробок, а на втором – не менее коробок, то
Учитывая, что , первое неравенство системы можно переписать так:
Учитывая, что кратно и , получаем, что кратно . Таким образом, или .
Итак, на первом складе было первоначально карандашей, на втором – . Или на первом складе было первоначально карандашей, на втором –
Ответ: и ; и .
18. Найдите все положительные значения , при каждом из которых любой корень уравнения
находится в промежутке
при положительных значениях – непрерывная возрастающая функция на
– непрерывная убывающая функция (и на в том числе).
Если решение и будет на , то только одно.
При этом замечаем, что на принимает значения от до (включительно). А на принимает значения от до (включительно).
Для того, чтобы решение существовало, значение функции на правом конце отрезка должно быть не меньше значения на правом конце отрезка и значение функции на левом конце отрезка должно быть не больше значения на левом конце отрезка .